Среднее арифметическое взвешенное

Сре́днее арифмети́ческое взве́шенное — математическое понятие, обобщающее среднее арифметическое. Среднее арифметическое взвешенное набора чисел [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math] с весами [math]\displaystyle{ w_1, \ldots, w_n }[/math] определяется как

[math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n w_i \cdot x_i}{\sum\limits_{i=1}^n w_i}= \dfrac{w_1x_1+w_2x_2+ \ldots + w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots + w_n}. }[/math]

Основные числа и веса могут быть и вещественными, и комплексными. При этом сумма весов не может быть 0, но могут быть некоторые, не все веса, равные 0.

Если все веса [math]\displaystyle{ w_i }[/math] равны между собой, получается обычное среднее арифметическое. Существуют также взвешенные версии среднего геометрического и среднего гармонического, среднего степенного и их обобщения — среднего по Колмогорову.

Иногда сумма весов равна 1 (например, в голосованиях в процентах как весах), тогда формула упрощается:

[math]\displaystyle{ \bar{x} = \sum\limits_{i=1}^n w_i \cdot x_i=w_1x_1+w_2x_2+ \ldots + w_nx_n. }[/math]

Примеры использования

В физике

Средняя скорость тела

Если тело в течение промежутка времени [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] движется со скоростью [math]\displaystyle{ v_1 }[/math], затем в течение следующего промежутка времени [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] — со скоростью [math]\displaystyle{ v_2 }[/math] и так далее до последнего промежутка времени [math]\displaystyle{ t_n }[/math], в течение которого оно движется со скоростью [math]\displaystyle{ v_n }[/math], то средняя скорость движения тела за суммарный промежуток времени ([math]\displaystyle{ t_1+t_2+\ldots+t_n }[/math]) будет равна взвешенному среднему арифметическому скоростей [math]\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n }[/math] с набором весов [math]\displaystyle{ t_1,\ldots,t_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ v_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n t_i \cdot v_i}{\sum\limits_{i=1}^n t_i} = \dfrac{t_1v_1+t_2v_2+ \ldots + t_nv_n}{t_1+t_2+\ldots + t_n}. }[/math]

Центр масс

Другим примером использования данного понятия в физике является центр масс системы материальных точек, который задаётся формулой:

[math]\displaystyle{ \vec r_c= \frac{\sum \limits_{i=1}^n m_i \vec r_i}{\sum \limits_{i=1}^n m_i}= \dfrac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+ \ldots + m_n\vec{r}_n}{m_1+m_2+\ldots + m_n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec r_c }[/math] — радиус-вектор центра масс,
[math]\displaystyle{ \vec r_i }[/math] — радиус-вектор i-й точки системы,
[math]\displaystyle{ m_i }[/math] — масса i-й точки.

Температура смеси нескольких порций одной жидкости с разными температурами

[math]\displaystyle{ t_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n m_i \cdot t_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i} = \dfrac{m_1t_1+m_2t_2+ \ldots + m_nt_n}{m_1+m_2+\ldots + m_n}. }[/math],

где [math]\displaystyle{ t_{cp} }[/math] — полученная температура смеси,
[math]\displaystyle{ t_i }[/math] — температура i-й порции,
[math]\displaystyle{ m_i }[/math] — масса i-й порции.

В экономике

Средневзвешенный курс валюты

[math]\displaystyle{ C_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n C_i \cdot b_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i}=\dfrac{b_1C_1+b_2C_2+ \ldots + b_nC_n}{b_1+b_2+\ldots + b_n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ C_{cp} }[/math] — средневзвешенный курс,
[math]\displaystyle{ C_i }[/math] — цена по i-ой сделке,
[math]\displaystyle{ b_i }[/math] — объем i-ой сделки.

См. также

• Парадокс Симпсона
• Медианта