Первая теорема о среднем

Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.

Формулировка

Пусть функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] интегрируема на отрезке [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], и ограничена на нём числами [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ M }[/math] так, что [math]\displaystyle{ m \le f(x) \le M }[/math]. Тогда существует такое число [math]\displaystyle{ \mu }[/math], [math]\displaystyle{ m \le \mu \le M }[/math], что

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) dx = \mu (b-a) }[/math].

Доказательство

Из неравенства [math]\displaystyle{ m \le f(x) \le M }[/math] по свойству монотонности интеграла имеем

[math]\displaystyle{ m (b-a) \le \int\limits_a^b f(x) dx \le M(b-a) }[/math].

Обозначив [math]\displaystyle{ \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx }[/math], получим требуемое утверждение. Так определённое число [math]\displaystyle{ \mu }[/math] называют средним значением функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] на отрезке [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], откуда и название теоремы.

Замечание

Если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] непрерывна на [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], то в качестве [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ M }[/math] можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка [math]\displaystyle{ c \in [a;b] }[/math], что [math]\displaystyle{ f(c) = \mu }[/math], поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) dx = f(c) (b-a) }[/math].

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как

[math]\displaystyle{ F(b) - F(a) = F'(c) \; (b-a) }[/math],

где [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] — первообразная функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции [math]\displaystyle{ F(x) }[/math].

Обобщение

Пусть функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] интегрируемы на отрезке [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], причём по-прежнему [math]\displaystyle{ m \le f(x) \le M }[/math], а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: [math]\displaystyle{ g(x) \ge 0 }[/math], либо всюду неположительна [math]\displaystyle{ g(x) \le 0 }[/math]). Тогда существует такое число [math]\displaystyle{ \mu }[/math], [math]\displaystyle{ m \le \mu \le M }[/math], что

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) g(x) dx = \mu \int\limits_a^b g(x) dx }[/math].

Доказательство

Пусть [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] неотрицательна, тогда имеем

[math]\displaystyle{ m g(x) \le f(x)g(x) \le M g(x) }[/math],

откуда, ввиду монотонности интеграла

[math]\displaystyle{ m \int\limits_a^b g(x)dx \le \int\limits_a^b f(x)g(x)dx \le M \int\limits_a^b g(x)dx }[/math].

Если [math]\displaystyle{ \int_a^b g(x)dx = 0 }[/math], то из этого неравенства следует, что [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)g(x)dx = 0 }[/math], и утверждение теоремы выполняется при любом [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. В противном случае положим

[math]\displaystyle{ \mu = \frac{\int\limits_a^b f(x)g(x)dx}{\int\limits_a^b g(x)dx} }[/math].

Обобщение доказано. Если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] непрерывна, можно утверждать, что существует точка [math]\displaystyle{ c \in [a;b] }[/math] такая, что

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(x) g(x) dx = f(c) \int\limits_a^b g(x) dx }[/math]

(аналогично предыдущему).

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. — Т. II.
• Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М.: Наука, 1981.