Ковариантный вектор

В линейной алгебре ковариантный вектор на векторном пространстве — это то же самое, что и линейная форма (линейный функционал) на этом пространстве.

В дифференциальной геометрии ковариантный вектор на дифференцируемом многообразии — это гладкое сечение кокасательного расслоения. Эквивалентно, ковариантный вектор на многообразии M — это гладкое отображение тотального пространства касательного расслоения M в R, ограничение которого на каждый слой — это линейный функционал на касательном пространстве. Это запишется так:

[math]\displaystyle{ \alpha : TM \rightarrow {\mathbf R},\quad \alpha_x = \alpha|_{T_xM}: T_xM\rightarrow {\mathbf R} }[/math]

где α_x линейно.

Ко- и контравариантные векторы в пространствах (на многообразиях) с невырожденной метрикой

Далее подразумевается, что на пространстве, в котором существуют описанные объекты (или на многообразии, в касательном пространстве которого они существуют), задана невырожденная метрика.

Соответствие между векторами и ковекторами

Если определён невырожденный метрический тензор, то формально «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» можно считать просто разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть через набор ковариантных координат) или контравариантный (то есть через набор контравариантных координат). Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором:

[math]\displaystyle{ \ v_i = g_{ij} v^j }[/math]

[math]\displaystyle{ \ v^i = g^{ij} v_j }[/math]

(здесь и ниже подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу, по правилу Эйнштейна).

Различие между векторами и ковекторами

Содержательно векторы и ковекторы различают по тому, какое из представлений для них естественно. Так, для ковекторов — например, для градиента — естественно разложение по дуальному базису, так как их естественная свёртка (скалярное произведение) с обычным вектором (например, смещением) осуществляется без участия метрики, просто суммированием перемноженных компонент. Для обычных же векторов (к которым принадлежит и само смещение по пространственным координатам [math]\displaystyle{ dx^i }[/math]) естественно разложение по главному базису, так как они свёртываются с другими обычными векторами, такими как вектор смещения по пространственным координатам, с участием метрики. Например, скаляр [math]\displaystyle{ \ d\varphi = (\partial_i \varphi)\,dx^i }[/math] получается (как полный дифференциал) свёртыванием без участия метрики ковариантного вектора [math]\displaystyle{ \ \partial_i \varphi }[/math], являющегося естественным представлением 1-формы градиента, подействовавшей на скалярное поле, с контравариантным вектором [math]\displaystyle{ \ dx^i }[/math], являющимся естественным представлением обычного вектора смещения по координатам; при этом сам с собой [math]\displaystyle{ \ dx^i }[/math] свёртывается с помощью метрики: [math]\displaystyle{ \ (dx)^2 = g_{ij}\, dx^i\, dx^j }[/math], что находится в полном согласии с тем, что он контравариантный.

Если речь идёт об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности/контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения [math]\displaystyle{ \ dx^i }[/math], являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свертываются с [math]\displaystyle{ \ dx^i }[/math] посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы (1-формы); в противном случае (свёртка требует участия метрики) это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты полностью абстрактны и нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает или становится также чисто условным.

Вопрос о том, является ли именно то представление, в каком мы видим объект, естественным для него, затронут уже чуть выше. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление, для ковектора же — ковариантное.

См. также

Дифференциальная форма

См. также

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.