Распределение (дифференциальная геометрия)
Распределением на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] выбрано линейное подпространство [math]\displaystyle{ \Delta_x }[/math] касательного пространства [math]\displaystyle{ T_x M }[/math] которое гладко зависит от точки [math]\displaystyle{ x }[/math].
Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — гладкое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное многообразие и [math]\displaystyle{ k \leq n }[/math]. Предположим, что в каждой точке [math]\displaystyle{ x \in M }[/math] выбрано [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерное подпространство [math]\displaystyle{ \Delta_x \subset T_x(M) }[/math] касательного пространства такое, что у любой точки [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] существует окрестность [math]\displaystyle{ U_x \subset M }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math] линейно независимых гладких векторных полей [math]\displaystyle{ X_1,\ldots,X_k }[/math], причем для любой точки [math]\displaystyle{ y \in U_x }[/math], векторы [math]\displaystyle{ X_1(y),\ldots,X_k(y) }[/math] составляют базис подпространства [math]\displaystyle{ \Delta_y \subset T_y(M) }[/math].
В этом случае, совокупность [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] всех подпространств [math]\displaystyle{ \Delta_x }[/math], [math]\displaystyle{ x \in M }[/math], называется [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерным распределением на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math].
При этом векторные поля [math]\displaystyle{ \{ X_1,\ldots,X_k \} }[/math] называется локальным базисом распределения [math]\displaystyle{ \Delta. }[/math]
Инволютивные распределения
Распределение [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math] называется инволютивным, если в окрестности каждой точки [math]\displaystyle{ x \in M }[/math] существует локальный базис распределения [math]\displaystyle{ \{ X_1,\ldots,X_k \} }[/math] такой, что все скобки Ли векторных полей [math]\displaystyle{ [X_i,X_j] }[/math] принадлежат линейной оболочке [math]\displaystyle{ \{ X_1,\ldots,X_k \} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ [X_i,X_j] }[/math] являются линейными комбинациями векторов [math]\displaystyle{ \{ X_1,\ldots,X_k \}. }[/math] Условие инволютивности распределения [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] записывается как [math]\displaystyle{ [ \Delta , \Delta ] \subset \Delta }[/math].
Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.
Задание распределения системой 1-форм
На открытом множестве [math]\displaystyle{ U\subset M }[/math] [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерное распределение [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] может быть задано системой гладких 1-форм [math]\displaystyle{ \omega_1,\dots,\omega_{n-k} }[/math], определенных в [math]\displaystyle{ U }[/math] и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями [math]\displaystyle{ \omega_i(\xi)=0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \{\omega_1\dots,\omega_{n-k}\} }[/math] и [math]\displaystyle{ \{\omega_1',\dots,\omega_{n-k}'\} }[/math] — системы 1-форм, определяющие распределение [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] в [math]\displaystyle{ U }[/math] и в [math]\displaystyle{ U' }[/math], то в пересечении [math]\displaystyle{ U\cap U' }[/math] форма [math]\displaystyle{ \omega_i=\sum\phi_{ij}\omega_j }[/math], где [math]\displaystyle{ \phi_{ij} }[/math] — такие гладкие функции, что [math]\displaystyle{ \det(\phi_{ij})\ne 0 }[/math] в [math]\displaystyle{ U\cap U' }[/math]. Если [math]\displaystyle{ U=M }[/math], говорят, что задана глобальная определяющая система форм.
Интегрируемость распределения
[math]\displaystyle{ k }[/math]-мерное распределение называется интегрируемым, если через каждую точку [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] проходит [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.
Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
В [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерном случае, [math]\displaystyle{ k\gt 1 }[/math], существуют как интегрируемые, так и неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.
Теорема Фробениуса в терминах векторных полей
Теорема: [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.
Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.
Теорема Фробениуса в терминах 1-форм
Теорема: [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм [math]\displaystyle{ \omega_1,\dots,\omega_{n-k} }[/math], интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал
[math]\displaystyle{ d\omega_i=\sum_j \eta_j^{i}\wedge \omega_j }[/math],
где [math]\displaystyle{ \eta_j^{i} }[/math] — гладкие 1-формы. Если определяющие формы [math]\displaystyle{ \omega_{i} }[/math] независимы, это условие эквивалентно системе
[math]\displaystyle{ \omega_1\wedge\dots\wedge\omega_{n-k}\wedge d\omega_i=0 }[/math].
Интегрируемое распределение [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] определяет слоение на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math]: его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что [math]\displaystyle{ 1 }[/math]-мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает [math]\displaystyle{ 1 }[/math]-мерное слоение.
Теорема Тёрстона
Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому [1], [2].
Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером[3].
См. также
Примечания
- ↑ W. Thurston, The theory of foliations of codimension greater than one — Comm. Math. Helv., 49 (1974), pp. 214–231.
- ↑ W. Thurston, Existence of codimension one foliations — Ann. of Math., 104:2 (1976), pp. 249–268.
- ↑ A. Haefliger, Feuilletages sur les variétés ouvertes — Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.
Литература
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
- Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.