Пфаффово уравнение

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида [math]\displaystyle{ \omega=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия [math]\displaystyle{ M^n }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n }[/math]. Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии [math]\displaystyle{ M^n }[/math] введены (локальные) координаты [math]\displaystyle{ x=(x_1, \ldots, x_n) }[/math], то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

[math]\displaystyle{ a_1(x)\,dx_1+ a_2(x)\,dx_2 + \cdots+ a_n(x)\,dx_n = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_i(x) }[/math] — скалярные функции, заданные на [math]\displaystyle{ M^n }[/math]. Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

[math]\displaystyle{ P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0, \quad x,y \in \R }[/math].

Пфаффова система

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида [math]\displaystyle{ \omega_1=0, \omega_2=0, \ldots, \omega_m=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ \omega_i }[/math] — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия [math]\displaystyle{ M^n }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n }[/math]. В координатах пфаффова система имеет вид

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} a_{11}(x)\,dx_1+ a_{12}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{1n}(x)\,dx_n &= 0 \\ a_{21}(x)\,dx_1+ a_{22}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{2n}(x)\,dx_n &= 0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}(x)\,dx_1+ a_{m2}(x)\,dx_2 + \cdots+ a_{mn}(x)\,dx_n &= 0. \\ \end{matrix} \right. \qquad \qquad (*) }[/math]

Рангом пфаффовой системы в точке [math]\displaystyle{ x=(x_1, \ldots, x_n) }[/math] называется число [math]\displaystyle{ r(x) }[/math], равное рангу матрицы [math]\displaystyle{ (a_{ij}(x)) }[/math]. Обычно бывает [math]\displaystyle{ r(x)\lt n }[/math].

Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве [math]\displaystyle{ T_x M^n }[/math] векторное подпространство размерности [math]\displaystyle{ n-r(x) }[/math], которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на [math]\displaystyle{ M^n }[/math] называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при [math]\displaystyle{ r(x) \equiv n-1 }[/math] распределение является полем направлений на [math]\displaystyle{ M^n }[/math], при [math]\displaystyle{ r(x) \equiv n-2 }[/math] распределение является полем двумерных плоскостей, а при [math]\displaystyle{ r(x) \equiv 1 }[/math] распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n }[/math] одну (например, [math]\displaystyle{ x_n }[/math]) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на [math]\displaystyle{ dx_n }[/math], получаем систему ОДУ первого порядка:

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} a_{11}(x)\,x_1'+ a_{12}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{1n-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{1n}(x) &=0 \\ a_{21}(x)\,x_1'+ a_{22}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{2n}(x) &=0 \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m1}(x)\,x_1'+ a_{m2}(x)\,x_2' + \cdots+ a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}' +a_{mn}(x) &=0, \\ \end{matrix} \right. \qquad \qquad (**) }[/math]

где [math]\displaystyle{ x_i'=dx_i/dx_n }[/math].

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат [math]\displaystyle{ (dx_1, \ldots, dx_n) }[/math] к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию [math]\displaystyle{ M^n }[/math].

Интегрирование пфаффовых систем

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей [math]\displaystyle{ 1,2, \ldots, n-1 }[/math] в многообразии [math]\displaystyle{ M^n }[/math], на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность [math]\displaystyle{ S }[/math] в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к [math]\displaystyle{ S }[/math] содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга [math]\displaystyle{ m\lt n }[/math] называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия [math]\displaystyle{ M^n }[/math] проходит интегральная поверхность [math]\displaystyle{ S_{n-m} }[/math] максимально возможной размерности [math]\displaystyle{ n-m }[/math].

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга [math]\displaystyle{ m\lt n }[/math] с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии [math]\displaystyle{ M^n }[/math] приводится к каноническому виду

[math]\displaystyle{ dx_1=0, \ dx_2=0, \, \ldots, \, dx_m=0. }[/math]

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

[math]\displaystyle{ \omega_1\wedge\dots\wedge\omega_m\wedge d\omega_i=0 \quad \ i=1,\ldots,m, \qquad \qquad (***) }[/math]

где [math]\displaystyle{ d\omega_i }[/math] означает внешний дифференциал 1-формы и [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] означает внешнее произведение форм.

Примеры

Пфаффово уравнение [math]\displaystyle{ \omega = dx_1+ dx_2 + dx_3 = 0 }[/math] вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости [math]\displaystyle{ x_1+ x_2 + x_3 = c }[/math] в трёхмерном пространстве. С помощью замены [math]\displaystyle{ \tilde x_1 = x_1+ x_2 + x_3 }[/math] это уравнение приводится к каноническому виду [math]\displaystyle{ d \tilde x_1 = 0. }[/math] Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как [math]\displaystyle{ d\omega = 0. }[/math]

Пфаффово уравнение [math]\displaystyle{ \omega = x_3\,dx_1+ dx_2 = 0 }[/math] не является вполне интегрируемым. В этом случае [math]\displaystyle{ d\omega = dx_3 \wedge dx_1 }[/math] и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

[math]\displaystyle{ \omega \wedge d\omega = (x_3\,dx_1+ dx_2) \wedge (dx_3 \wedge dx_1) = dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \neq 0. }[/math]

См. также

Литература

Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.