Подпространство

Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.

Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.

Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.

Примеры

• Непустое подмножество [math]\displaystyle{ L' \subset L }[/math] векторного (линейного) пространства [math]\displaystyle{ L }[/math] над полем [math]\displaystyle{ F }[/math] является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов [math]\displaystyle{ x,y \in L' }[/math] сумма [math]\displaystyle{ x+y \in L' }[/math] и для всякого вектора [math]\displaystyle{ x \in L' }[/math] и любого [math]\displaystyle{ \alpha\in F }[/math] вектор [math]\displaystyle{ \alpha x \in L' }[/math]. В частности, подпространство [math]\displaystyle{ L' }[/math] обязательно содержит нулевой вектор пространства [math]\displaystyle{ L }[/math] (он также является нулевым вектором пространства [math]\displaystyle{ L' }[/math]).

• Векторное подпространство [math]\displaystyle{ L' \subset L }[/math] называется собственным подпространством, если [math]\displaystyle{ L' \neq L }[/math] и [math]\displaystyle{ L' }[/math] содержит хотя бы один ненулевой вектор.

• Векторное подпространство [math]\displaystyle{ L' \subset L }[/math] называется инвариантным подпространством линейного отображения [math]\displaystyle{ A : L \to L }[/math], если [math]\displaystyle{ A(L') \subset L' }[/math], то есть [math]\displaystyle{ A(x) \in L' }[/math] для любого вектора [math]\displaystyle{ x \in L' }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — собственное значение отображения [math]\displaystyle{ A }[/math], то все векторы [math]\displaystyle{ e \in L }[/math], удовлетворяющие соотношению [math]\displaystyle{ A(e) = \lambda e }[/math] (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения [math]\displaystyle{ A }[/math]. Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

• Подпространство евклидова векторного пространства также является евклидовым пространством, но подпространство псевдоевклидова векторного пространства может быть и псевдоевклидовым (другой сигнатуры), и евклидовым пространством, а также может быть вырожденным или изотропным.

• Подпространство [math]\displaystyle{ M' \subset M }[/math] метрического пространства [math]\displaystyle{ M }[/math] с метрикой [math]\displaystyle{ \rho }[/math] обладает индуцированной метрикой [math]\displaystyle{ \rho' }[/math], которая определена формулой [math]\displaystyle{ \rho'(x,y)=\rho(x,y) }[/math] для любых [math]\displaystyle{ x,y \in M' }[/math].

• Подпространство [math]\displaystyle{ T' \subset T }[/math] топологического пространства [math]\displaystyle{ T }[/math] с топологией [math]\displaystyle{ \tau }[/math] обладает индуцированной топологией [math]\displaystyle{ \tau' }[/math], открытыми множествами в которой являются множества [math]\displaystyle{ G_{\tau'} = G_{\tau} \cap T' }[/math], где [math]\displaystyle{ G_{\tau} }[/math] — всевозможные открытые множества в топологии [math]\displaystyle{ \tau }[/math].

• Пусть [math]\displaystyle{ P = P(L) }[/math] — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства [math]\displaystyle{ L }[/math], и [math]\displaystyle{ L' \subset L }[/math] — векторное подпространство. Тогда проективное пространство [math]\displaystyle{ P' = P(L') \subset P }[/math] является проективным подпространством.