Субриманово многообразие

Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие. Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).

Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых, а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори.

Определение

• Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — гладкое многообразие размерности [math]\displaystyle{ m }[/math], на котором задано гладкое распределение [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n \lt m }[/math], т.е. в каждой точке [math]\displaystyle{ x\in M }[/math] задано линейное подпространство [math]\displaystyle{ \Delta_x }[/math] касательного пространства [math]\displaystyle{ T_x M }[/math] которое гладко зависит от точки [math]\displaystyle{ x }[/math]. Подпространства [math]\displaystyle{ \Delta_x }[/math] называются горизонтальными. Векторное поле и кривая на [math]\displaystyle{ M }[/math] называются горизонтальными, если они касаются распределения [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную).

• Распределение [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным, если в каждой точке [math]\displaystyle{ x \in M }[/math] любой вектор касательного пространства [math]\displaystyle{ T_xM }[/math] представим в виде линейной комбинации векторов вида

[math]\displaystyle{ A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]], \ \dots }[/math]

с некоторыми [math]\displaystyle{ A,B,C,D, \dots \in \Delta_x }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ [A,B] }[/math] означает скобку Ли векторных полей.

• Многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] называется субримановым, если каждое горизонтальное подпространство [math]\displaystyle{ \Delta_x \subset T_x M }[/math] снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка [math]\displaystyle{ (M, \Delta, g) }[/math].

Связанные понятия

Теорема Рашевского — Чоу

Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938) и китайским математиком Чоу (Wei-Liang Chow, 1939).

В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости.

Метрика Карно — Каратеодори

Каждое субриманово многообразие обладает метрикой, определённой по аналогии с римановым многообразием формулой

[math]\displaystyle{ d(x, y) = \inf\int_0^1 \sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))} \, dt, }[/math]

где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y, то есть [math]\displaystyle{ \gamma: [0, 1] \to M }[/math], [math]\displaystyle{ \gamma(0)=x }[/math], [math]\displaystyle{ \gamma(1)=y }[/math]. Определённая таким образом метрика [math]\displaystyle{ d(x, y) }[/math] называется метрикой Карно-Каратеодори.

Литература

• Bellaïche, André & Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Sub-Riemannian geometry, vol. 144, Progress in Mathematics, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, <https://books.google.com/books?id=7Z7IMze7pDwC> 

• Gromov, Mikhael (1996), Carnot-Carathéodory spaces seen from within, in Bellaïche, André & Risler., Jean-Jacques, Sub-Riemannian geometry, vol. 144, Progr. Math., Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, с. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, <http://www.ihes.fr/~gromov/PDF/carnot_caratheodory.pdf>  Архивная копия от 27 сентября 2011 на Wayback Machine

• Le Donne, Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry, <https://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/5339/sub-Riem_notes.pdf> 

• Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9.

• Agrachev, Andrei A.; Barilari, Davide; Boscain, Ugo, Introduction to Riemannian and sub-Riemannian geometry

• R.S. Strichartz, Sub-Riemannian geometry, Journal of Differential Geometry 24 (1986), 221-263.