Пространство Адамара

Пространства Адамара (или полное CAT(0) пространство с внутренней метрикой) — нелинейное обобщение гильбертовых пространств, частный случай пространства Александрова с кривизной ограниченной сверху.

Пространства названы в честь Жака Адамара.

Определение

Пространство Адамара — непустое полное метрическое пространство, где для любых двух точек x и y найдётся точка m такая, что неравенство

[math]\displaystyle{ d(z, m)^2 + {d(x, y)^2 \over 4} \le {d(z, x)^2 + d(z, y)^2 \over 2}. }[/math]

выполняется для любой точки z.

Замечания

Заметим, что точка [math]\displaystyle{ m }[/math] лежит ровно посередине [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math], то есть
[math]\displaystyle{ d(x, m) = d(y, m) = d(x, y)/2 }[/math].

Это можно увидеть, предположив [math]\displaystyle{ z=m }[/math] в неравенстве выше.

В гильбертовом пространстве неравенство выше превращается в равенство (с [math]\displaystyle{ m = (x+y)/2 }[/math]).
Пространства Адамара можно определить как полные CAT(0) пространства.

Свойства

Теорема Решетняка о склеивании утверждает в частности, что пространство, полученное склейкой двух пространств Адамара по изометричным выпуклым множествам, также является пространством Адамара.
Нормированное пространство является пространством Адамара тогда и только тогда, когда оно является гильбертовым.
В пространстве Адамара, любые две точки можно соединить с помощью единственной геодезической.
- В частности, пространства Адамара стягиваемы.
Всякое ограниченное подмножество пространства Адамара содержится в единственном замкнутом шаре с минимальным радиусом. Центр этого шара называется центром множества.
- В частности, если [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — это группа из движений в пространстве Адамара, которая оставляет инвариантным ограниченное множество, то [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] фиксирует и его центр.
Локально выпуклое замкнутое множество в пространстве Адамара является глобально выпуклым.
По теореме Картана — Адамара, пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] является пространством Адамара, если оно односвязно и CAT(0) неравенство выполняется локально, то есть любая точка допускает замкнутую окрестность, являющуюся пространством Адамара.

Примеры

Гильбертово пространство
Пространство Лобачевского
Деревья с полной внутренней метрикой
Полные односвязные римановы многообразия с неположительной секционной кривизной

Вариации и обобщения

CAT(κ) пространство

Литература

Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.