Монотонная последовательность

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определения

Пусть имеется множество [math]\displaystyle{ X }[/math], на котором введено отношение порядка.

Последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

[math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] — неубывающая [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant x_{n+1} }[/math]

Последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

[math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] — невозрастающая [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant x_{n+1} }[/math]

Последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

[math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] — возрастающая [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \lt x_{n+1} }[/math]

Последовательность [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

[math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math] — убывающая [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \gt x_{n+1} }[/math]

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], а лишь для номеров из некоторого диапазона

[math]\displaystyle{ I=\{n\in\mathbb N\mid N_{-}\leqslant n\lt N_{+}\} }[/math]

(здесь допускается обращение правой границы [math]\displaystyle{ N_{+} }[/math] в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке [math]\displaystyle{ I }[/math], а сам диапазон [math]\displaystyle{ I }[/math] называется промежутком монотонности последовательности.

Примеры

• Последовательность натуральных чисел.
  • [math]\displaystyle{ \forall n \in \N \colon x_n = n }[/math].
  • Начальные отрезки: [math]\displaystyle{ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \cdots) }[/math].
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Последовательность Фибоначчи.
  • [math]\displaystyle{ x_n = \begin{cases} 1, & n = 1 \lor n = 2 \\ x_{n - 1} + x_{n - 2}, & n \geqslant 3 \end{cases} }[/math]
  • Начальные отрезки: [math]\displaystyle{ (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \cdots) }[/math].
  • Неубывающая последовательность.
  • Состоит из натуральных чисел.
  • Ограничена снизу, сверху не ограничена.

• Геометрическая прогрессия с основанием [math]\displaystyle{ 1/2 }[/math].
  • [math]\displaystyle{ \forall n \in \N \colon x_n = \frac{1}{2^{n-1}} }[/math].
  • Начальные отрезки: [math]\displaystyle{ (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \cdots) }[/math].
  • Убывающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность, сходящаяся к числу e.
  • [math]\displaystyle{ \forall n \in \N \colon x_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n }[/math].
  • Начальные отрезки: [math]\displaystyle{ (2, 9/4, 64/27, 625/256, \cdots) }[/math].
  • Возрастающая последовательность.
  • Состоит из рациональных чисел, но сходится к трансцендентному числу.
  • Ограничена с обеих сторон.

• Последовательность рациональных чисел вида [math]\displaystyle{ x_n=\,\!(n-5)^2 }[/math] не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке [math]\displaystyle{ \{1,\,\!2, 3, 4\} }[/math] и (строго) возрастает на промежутке [math]\displaystyle{ \{n\in\mathbb N\mid n\geqslant 5\} }[/math].

Свойства

• Ограниченность.
  • Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
  • Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
  • Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.

• Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)
  • Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
  • Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

См. также

• Монотонная функция