Теорема Штольца

Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца. По своей природе теорема Штольца является дискретным аналогом правила Лопиталя.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_n }[/math] — две последовательности вещественных чисел, причём [math]\displaystyle{ b_n }[/math] положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} }[/math],

то существует и предел

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} }[/math],

причём эти пределы равны.

Доказательство

Ниже приводится доказательство по Фихтенгольцу, другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и Чубарикова.

Допустим сначала, что предел равен конечному числу [math]\displaystyle{ L }[/math], тогда для любого заданного [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] существует такой номер [math]\displaystyle{ N \gt 0 }[/math], что при [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math] будет иметь место:

[math]\displaystyle{ L - \frac{\varepsilon}{2} \lt \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} \lt L + \frac{\varepsilon}{2} }[/math].

Значит, для любого [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math] все дроби:

[math]\displaystyle{ \frac{a_{N+1} - a_N}{b_{N+1} - b_N}, \frac{a_{N+2} - a_{N+1}}{b_{N+2} - b_{N+1}},...,\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} }[/math]

лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности [math]\displaystyle{ b_n }[/math]), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь:

[math]\displaystyle{ \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} }[/math],

числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left| \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right| \lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math].

Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно):

[math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n} - L = \frac{a_N - L b_N}{b_n} + \left( 1 - \frac{b_N}{b_n} \right) \left( \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right) }[/math],

откуда имеем

[math]\displaystyle{ \left| \frac{a_n}{b_n} - L \right| \le \left| \frac{a_N - L b_N}{b_n} \right| + \left| \frac{a_n - a_N}{b_n - b_N} - L \right| }[/math].

Второе слагаемое при [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math] становится меньше [math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2} }[/math], первое слагаемое также станет меньше [math]\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2} }[/math], при [math]\displaystyle{ n \gt M }[/math], где [math]\displaystyle{ M }[/math] — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что [math]\displaystyle{ b_n \to +\infty }[/math]. Если взять [math]\displaystyle{ M \gt N }[/math], то при [math]\displaystyle{ n \gt M }[/math] будем иметь

[math]\displaystyle{ \left | \frac{a_n}{b_n} - L \right | \lt \varepsilon }[/math],

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = +\infty }[/math],

из этого следует, что при достаточно больших [math]\displaystyle{ n }[/math]:

[math]\displaystyle{ a_n - a_{n-1} \gt b_n - b_{n-1} }[/math] и

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = +\infty }[/math],

причём последовательность [math]\displaystyle{ a_n }[/math] строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению [math]\displaystyle{ b_n \over a_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{b_n - b_{n-1}}{a_n - a_{n-1}} = 0 }[/math],

откуда и следует, что:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = + \infty }[/math].

Если предел равен [math]\displaystyle{ -\infty }[/math], то нужно рассмотреть последовательность [math]\displaystyle{ \{ - a_n \} }[/math].

Следствие

Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность [math]\displaystyle{ a_n }[/math] сходится к числу [math]\displaystyle{ a }[/math], то последовательность средних арифметических [math]\displaystyle{ \frac{a_1 + \dots + a_n}{n} }[/math] сходится к этому же числу.

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 1. — С. 78—79.
• Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 43—44. — ISBN 5-06-003596-4.