Обратный оператор
Обратный оператор к оператору [math]\displaystyle{ A }[/math] — оператор, который каждому [math]\displaystyle{ y }[/math] из множества значений [math]\displaystyle{ \mbox{Im}\,A }[/math] оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] ставит в соответствие единственный элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] из области определения [math]\displaystyle{ \mathcal D (A) }[/math] оператора [math]\displaystyle{ A }[/math], являющийся решением уравнения [math]\displaystyle{ A x = y }[/math]. Если оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет обратный, то есть уравнение [math]\displaystyle{ A x = y }[/math] имеет единственное решение при любом [math]\displaystyle{ y }[/math] из [math]\displaystyle{ \mbox{Im}\,A }[/math], то [math]\displaystyle{ A }[/math] называется обратимым. Обратный оператор обозначается [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math][1].
Определение и условия существования
Другое определение: оператор [math]\displaystyle{ B }[/math] называется обратным к оператору [math]\displaystyle{ A }[/math], если [math]\displaystyle{ B A = I, \, A B = I }[/math], где [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичный оператор. Если выполняется только соотношение [math]\displaystyle{ B A = I }[/math] или только [math]\displaystyle{ A B = I, }[/math] то оператор [math]\displaystyle{ B }[/math] называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] является обратимым[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом[3].
Оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] обратим, если он отображает [math]\displaystyle{ \mathcal D(A) }[/math] на [math]\displaystyle{ \mbox{Im}\, A }[/math] взаимно однозначно, то есть при различных [math]\displaystyle{ x \in \mathcal D(A) }[/math] принимает различные значения [math]\displaystyle{ y }[/math].[4] Если оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы [math]\displaystyle{ A x = 0 }[/math] выполнялось только при [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math][5].
Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве [math]\displaystyle{ \ell_2 }[/math] линейный оператор
- [math]\displaystyle{ A (x_1, x_2, x_3, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots) }[/math]
имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: [math]\displaystyle{ x_1 = 0 }[/math][5].
Свойства
- [math]\displaystyle{ (A^{-1})^{-1} = A. }[/math][6]
- [math]\displaystyle{ (A_1 A_2)^{-1} = A_2^{-1} A_1^{-1}. }[/math][3]
- Оператор [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math], обратный к линейному оператору, также линеен.[1]
- [math]\displaystyle{ (A^{-1})^* = (A^*)^{-1} }[/math], [math]\displaystyle{ A^* }[/math] — сопряжённый оператор[7].
Теоремы об обратном операторе
Теорема Банаха
|
Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] на банахово пространство [math]\displaystyle{ E_1 }[/math]. Тогда обратный оператор [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] ограничен. |
Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение [math]\displaystyle{ A }[/math] банахова пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] на (всё) банахово пространство [math]\displaystyle{ E_1 }[/math] открыто[9].
Достаточные условия существования обратного оператора
- Пусть линейный оператор [math]\displaystyle{ A }[/math], отображающий линейное нормированное пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] на линейное нормированное пространство [math]\displaystyle{ E_1 }[/math], удовлетворяет для любого [math]\displaystyle{ x \in E }[/math] условию
- [math]\displaystyle{ \| A x \| \ge m \| x\|, }[/math]
где [math]\displaystyle{ m \gt 0 }[/math] — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math][10].
- Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] в банахово пространство [math]\displaystyle{ E_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \Delta A }[/math] — линейный ограниченный оператор из [math]\displaystyle{ E }[/math] в [math]\displaystyle{ E_1 }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ \| \Delta A \| \lt 1/\| A^{-1} \| }[/math]. Тогда оператор [math]\displaystyle{ B = A + \Delta A }[/math] имеет ограниченный обратный, причём
- [math]\displaystyle{ \| B^{-1} - A^{-1} \| \le \frac{\| \Delta A \|}{1 - \| A^{-1} \| \| \Delta A \|} \| A^{-1} \|^2 }[/math][11][12].
- Пусть [math]\displaystyle{ E }[/math] — банахово пространство, [math]\displaystyle{ I }[/math] — тождественный оператор в [math]\displaystyle{ E }[/math], а [math]\displaystyle{ A }[/math] — такой линейный ограниченный оператор, отображающий [math]\displaystyle{ E }[/math] в себя, что [math]\displaystyle{ \| A \| \lt 1 }[/math]. Тогда оператор [math]\displaystyle{ (I - A)^{-1} }[/math] существует, ограничен и представляется в виде ряда
- [math]\displaystyle{ (I - A)^{-1} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} A^k }[/math][13].
Примеры
Преобразование Фурье
- [math]\displaystyle{ g(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\lambda t} dt }[/math]
можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства [math]\displaystyle{ L_2(-\infty, \infty) }[/math] в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье
- [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(\lambda) e^{i \lambda t} d\lambda }[/math][14].
Операторы интегрирования и дифференцирования
Для оператора интегрирования
- [math]\displaystyle{ A x = \int\limits_0^t x(\tau) \, d\tau, }[/math]
действующего в пространстве непрерывных функций [math]\displaystyle{ C[0, 1] }[/math], обратным будет оператор дифференцирования:
- [math]\displaystyle{ A^{-1} y = \frac{d}{dt} y(t), }[/math]
определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что [math]\displaystyle{ y(0) = 0 }[/math][15].
Оператор Штурма-Лиувилля
Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля [math]\displaystyle{ Ax = \frac{d}{dt} \left\{ p(t) \frac{dx}{dt}\right\} + q(t) x, }[/math] определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что [math]\displaystyle{ x(0) = x(1) = 0 }[/math], обратным оператором является интегральный оператор
- [math]\displaystyle{ A^{-1} y = \int\limits_0^1 G(t, \tau) y(\tau) \, d\tau, }[/math]
где [math]\displaystyle{ G(t, \tau) }[/math] — функция Грина. [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] — линейный ограниченный оператор в [math]\displaystyle{ C[0, 1] }[/math][15].
Интегральный оператор
Пусть
- [math]\displaystyle{ A x = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) \, ds }[/math]
— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций [math]\displaystyle{ C[0, 1] }[/math]. При достаточно малых значениях параметра [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] оператор [math]\displaystyle{ (I - \lambda A) }[/math] (где [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичный оператор) имеет ограниченный обратный
- [math]\displaystyle{ (I - \lambda A)^{-1} y = y(t) + \lambda \int\limits_0^1 R(t, s, \lambda) y(s) \, ds }[/math],
где [math]\displaystyle{ R(t, s, \lambda) }[/math] — резольвента ядра [math]\displaystyle{ K(t, s) }[/math]. Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения
- [math]\displaystyle{ x(t) = y(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) \, ds }[/math]
при любом свободном члене [math]\displaystyle{ y(t) }[/math][16].
Обратный оператор в конечномерном пространстве
Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица[17].
См. также
- Линейное отображение
- Обратная функция
- Изоморфизм
- Банахово пространство
- Линейный непрерывный оператор
Примечания
- ↑ Перейти обратно: 1,0 1,1 Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
- ↑ Перейти обратно: 3,0 3,1 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
- ↑ Перейти обратно: 5,0 5,1 Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
- ↑ Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
- ↑ Перейти обратно: 15,0 15,1 Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
- ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд.. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
- Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
- Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
- Соболев В. И. Обратное отображение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.