Теорема об открытом отображении

Теорема об открытом отображении утверждает

Линейный непрерывный оператор [math]\displaystyle{ A }[/math], отображающий банахово пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] на все банахово пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math], является открытым отображением, то есть [math]\displaystyle{ A(G) }[/math] открыто в [math]\displaystyle{ Y }[/math] для любого [math]\displaystyle{ G }[/math], открытого в [math]\displaystyle{ X }[/math];

Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math] со значениями в [math]\displaystyle{ \R }[/math] (или в [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]).

Теорема доказана Стефаном Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме:

Непрерывный линейный оператор [math]\displaystyle{ A }[/math], отображающий взаимно однозначно банахово пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] на банахово пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math], является гомеоморфизмом, то есть [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] ― также линейный непрерывный оператор.

Обобщения

Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение:

Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] на бочечное пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math], есть открытое отображение.

См. также

• Теорема о замкнутом графике