Теорема Банаха об обратном операторе
Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности).[1]
Формулировка
Если ограниченный линейный оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] отображает всё банахово пространство [math]\displaystyle{ E }[/math] на всё банахово пространство [math]\displaystyle{ E_1 }[/math] взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math], обратный оператору [math]\displaystyle{ A }[/math], отображающий [math]\displaystyle{ E_1 }[/math] на [math]\displaystyle{ E }[/math].[2]
Следствия
Теорема об открытом отображении
|
Линейное непрерывное отображение [math]\displaystyle{ A }[/math] банахова пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] на всё банахово пространство [math]\displaystyle{ E_1 }[/math] открыто.[3] |
Лемма о тройке
|
Пусть [math]\displaystyle{ E, E_1, E_2 }[/math] — банаховы пространства и [math]\displaystyle{ A \colon E \to E_1 }[/math], [math]\displaystyle{ B\colon E \to E_2 }[/math] — линейные непрерывные операторы, причем [math]\displaystyle{ B }[/math] отображает [math]\displaystyle{ E }[/math] на всё [math]\displaystyle{ E_2 }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ \mbox{Im}\, B = E_2 }[/math]). Если при этом
то существует такой линейный непрерывный оператор [math]\displaystyle{ C \colon E_2 \to E_1 }[/math], что [math]\displaystyle{ A = C B }[/math]. |
Здесь [math]\displaystyle{ \mbox{Ker}\, A }[/math] — ядро, [math]\displaystyle{ \mbox{Im}\,A }[/math] — образ оператора [math]\displaystyle{ A }[/math]. Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:[4]
- [math]\displaystyle{ \begin{array}{ccccc} \mbox{Ker}\,B & \to & E & \xrightarrow{B} & E_2 \\ \bigcap & & || & & \downarrow C \\ \mbox{Ker}\,A & \to & E & \xrightarrow{A}& E_1 \end{array} }[/math]
Примечания
- ↑ Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
- ↑ Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 159.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 227.
- ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 228.
Литература
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
- Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
- Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.