Нильпотентный элемент

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр[1].

Определение

Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что [math]\displaystyle{ x^n = 0 }[/math][2].

Минимальное значение [math]\displaystyle{ n }[/math], для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента [math]\displaystyle{ a }[/math].

Примеры

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
нильпотентна, поскольку [math]\displaystyle{ A^3 = 0 }[/math]. Подробнее в статье Нильпотентная матрица.
  • В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 32 сравнимо с 0 по модулю 9.
  • Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию [math]\displaystyle{ ab = 0 }[/math]. Тогда элемент [math]\displaystyle{ c = ba }[/math] нильпотентен, поскольку [math]\displaystyle{ c^2 = (ba)^2 = b(ab)a = 0 }[/math]. Пример для матриц (в качестве a и b):
[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \;\; B =\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ AB = 0, BA = B }[/math].

Свойства

  • Если элемент x нильпотентен, то [math]\displaystyle{ 1 - x }[/math] является обратимым элементом, поскольку из [math]\displaystyle{ x^n = 0 }[/math] следует:
    [math]\displaystyle{ (1 - x) (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) = 1 - x^n = 1. }[/math]
  • Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Коммутативные кольца

Нильпотентные элементы коммутативного кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] образуют идеал [math]\displaystyle{ \mathfrak{N} }[/math], что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math] этого кольца, поскольку [math]\displaystyle{ x^n = 0\in \mathfrak{p} }[/math]. Таким образом, [math]\displaystyle{ \mathfrak{N} }[/math] содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ S=\{1,x,x^2,...\} }[/math], чтобы получить ненулевое кольцо [math]\displaystyle{ S^{-1}R }[/math]. Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math] кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] с [math]\displaystyle{ \mathfrak{p}\cap S=\empty }[/math][3]. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] не содержится в некотором простом идеале. Тогда [math]\displaystyle{ \mathfrak{N} }[/math] является в точности пересечением всех простых идеалов[4].

Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы Алгебры Ли

Пусть [math]\displaystyle{ \mathfrak{g} }[/math] — Алгебра Ли. Тогда элемент [math]\displaystyle{ \mathfrak{g} }[/math] называется нильпотентным, если он в [math]\displaystyle{ [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{ad} x }[/math] является нильпотентным преобразованием. См. также Разложение Жордана в алгебре Ли[англ.].

Нильпотентность в физике

Операнд Q, удовлетворяющий условию [math]\displaystyle{ Q^2 = 0 }[/math] нильпотентен. Числа Грассмана[англ.], которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения[5][6]. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math], такой, что [math]\displaystyle{ Q^n = 0 }[/math] (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math]). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса[7] как показал Эдвард Виттен в признанной статье[8].

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах алгебры физического пространства[англ.][9]. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Алгебраические нильпотенты

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают сплит-кватернионы[англ.] (кокватернионы), расщеплённые октанионы[англ.], бикватернионы [math]\displaystyle{ \mathbb C\otimes\mathbb H }[/math] и комплексные октанионы [math]\displaystyle{ \mathbb C\otimes\mathbb O }[/math].

См. также

Примечания

  1. ↑ Milies, Sehgal, 2002, с. 127.
  2. ↑ Математическая энциклопедия, 1977—1985.
  3. ↑ Matsumura, 1970, с. 6.
  4. ↑ Atiyah, MacDonald, 1994, с. 5.
  5. ↑ Peirce, 1870.
  6. ↑ Milies, Sehgal, 2002.
  7. ↑ Rogers, 2000, с. 3703–3714.
  8. ↑ Witten, 1982, с. 661–692.
  9. ↑ Rowlands, 2007.

Литература

  • Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  • Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. An Introduction to Group Rings. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. — ISBN 978-1-4020-0238-0.
  • Hideyuki Matsumura. Chapter 1: Elementary Results // Commutative Algebra. — W. A. Benjamin, 1970. — ISBN 978-0-805-37025-6.
  • Atiyah M. F., MacDonald I. G. Chapter 1: Rings and Ideals // Introduction to Commutative Algebra. — Westview Press, 1994. — ISBN 978-0-201-40751-8.
    • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва: «Мир», 1972.
  • Peirce B. Linear Associative Algebra. — 1870.
  • A. Rogers. The topological particle and Morse theory // Class. Quantum Grav. — 2000. — Вып. 17. — doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.
  • E. Witten. Supersymmetry and Morse theory // J.Diff.Geom. — 1982. — Вып. 17.
  • Rowlands P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics. — London: World Scientific, 2007. — ISBN 978-981-270-914-1.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Нильпотентный_элемент&oldid=5820653