Перейти к содержанию

Многочлены Эрмита

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Шаблон:Семейство ортогональных многочленов Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Названы в честь французского математика Шарля Эрмита.

Определение

Графики многочленов Эрмита порядка n=0,1,...,5 (вероятностное определение)

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

Hnmath(x)=(1)nex2/2dndxnex2/2;

в физике обычно используется другое определение:

Hnphys(x)=(1)nex2dndxnex2.

Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого

Hnphys(x)=2n/2Hnmath(2x).

Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

H0(x)=1
H1(x)=x
H2(x)=x21
H3(x)=x33x
H4(x)=x46x2+3
H5(x)=x510x3+15x
H6(x)=x615x4+45x215
H7(x)=x721x5+105x3105x
H8(x)=x828x6+210x4420x2+105
H9(x)=x936x7+378x51260x3+945x
H10(x)=x1045x8+630x63150x4+4725x2945 .

Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:

H0(x)=1
H1(x)=2x
H2(x)=4x22
H3(x)=8x312x
H4(x)=16x448x2+12
H5(x)=32x5160x3+120x
H6(x)=64x6480x4+720x2120
H7(x)=128x71344x5+3360x31680x
H8(x)=256x83584x6+13440x413440x2+1680
H9(x)=512x99216x7+48384x580640x3+30240x
H10(x)=1024x1023040x8+161280x6403200x4+302400x230240

Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид: Hn(x)=j=0n/2(1)jn!j!(n2j)!(2x)n2j=(2x)nn(n1)1(2x)n2+n(n1)(n2)(n3)2(2x)n4,

Свойства

  • Многочлен Hn(x) содержит члены только той же чётности, что и само число n:
  • Многочлен Hn(x) чётен при чётном n и нечётен при нечётном n:
    H2n(x)=H2n(x),H2n+1(x)=H2n+1(x),n=0,1,2,.
  • При x=0 верны такие соотношения:
    H2n(0)=(1)n2n(2n)!n!,  H2n+1=0,   n=0,1,2,, (в вероятностном определении)
    H2n(0)=(1)n(2n)!n!,  H2n+1=0,   n=0,1,2,. (в физическом определении)
  • Уравнение Hn(x)=0 имеет n вещественных корней, попарно симметричных относительно начала системы координат, и модуль каждого из них не превосходит величины n(n1)/2. Корни многочлена Hn(x)=0 чередуются с корнями многочлена Hn+1(x)=0.
  • Многочлен Hn(x) можно представить в виде определителя матрицы n×n:
    Hn(x)=|xn10001xn20001xn300000x|

Формула сложения

Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:

(a12+a22++an2)μ2μ!Hμ[a1x1+a2x2+anxna12+a22++an2]=m1++mn=μa1m1m1!anmnmn!Hm1(x1)Hmn(xn) .

Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:

  • a1=a2==an=1, x1=x2==xn. Тогда
nμ2Hμ(nx)=m1++mn=μμ!m1!mn!Hm1(x)Hmn(x).
  • n=2, a1=a2=1, x1=2x, x2=2y. Тогда
2μHμ(x+y)=p+q+r+s=μμ!p! q! r! s!Hp(x)Hq(x)Hp(y)Hq(y).

Дифференцирование и рекуррентные соотношения

Производная k-го порядка от многочлена Эрмита Hn(x), nk также есть многочлен Эрмита (для физического определения):
dkdxkHn(x)=2kn(n1)(nk+1)Hnk(x) ,
Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения)
Hn(x)=dHn(x)dx=2nHn1(x)
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Hn(x)xHn1(x)+(n1)Hn2(x)=0 ,  n2
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Hn(x)2xHn1(x)+2(n1)Hn2(x)=0 ,  n2

Ортогональность

Многочлены Эрмита образуют полную ортогональную систему на интервале (,+) с весом ex2/2 или ex2 в зависимости от определения:

Hn(x)Hm(x)ex2/2dx=n!2π δnm, (в вероятностном определении)
Hn(x)Hm(x)ex2dx=2nn!π δnm, (в физическом определении)

где δmn — дельта-символ Кронекера.

Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого p справедлива запись

xpp!=k=0kp/212k1k!(p2k)!Hp2k(x).

Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена f(x)=n=0anxn и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, f(x)=n=0AnHn(x),которые называются отношениями Нильса Нильсона:

An=1n!k=012k(n+2k)!k!an+2k,   an=1n!k=0(1)k2k(n+2k)!k!An+2k

Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:

1F1(α,γ;x)=n=0(α,n)(γ,n)(1,n)2F2(α+n2,α+n+12;γ+n2,γ+n+12;12)Hn(x),   (a,b)Γ(a+b)Γ(a),

где 2F2(a1,a2;b1,b2;x) —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, Γ(x) — гамма-функция.

Разложение функций, в которых присутствует экспонента.

Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент f(x)=k=1pckeαkx, можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
f(x)=n=0AnHn(x) ,   An=1n!k=1pckαkneαk22 .

Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид

chtx=et22n=0t2n(2n)!H2n(x),   shtx=et22n=0t2n+1(2n+1)!H2n+1(x),
costx=et22n=0(1)nt2n(2n)!H2n(x),   sintx=et22n=0(1)nt2n+1(2n+1)!H2n+1(x),

Дифференциальные уравнения

Многочлены Эрмита Hn(x) являются решениями линейного дифференциального уравнения:

y(x)2xy(x)+2ny(x)=0

Если n является целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как

y(x)=AHn(x)+Bhn(x),

где A,B — произвольные постоянные, а функции hn(x) называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций ex2/2 и 0xez2/2dz.

Представления

Многочлены Эрмита предполагают такие представления:

Hn(x)=n!2πiΓezxz2/2zn+1dz

где Γ — контур, который охватывает начало координат.

Другое представление имеет вид:

Hn(x)=12π+(x+iy)ney22dy.

Связь с другими специальными функциями

  • Связь с функцией Куммера:
    H2n(x)=(1)n2n(2n)!n! 1F1(n;12;x22) ,   H2n+1(x)=(1)n2n(2n+1)!n!x 1F1(n;32;x22)
  • Связь с многочленами Лагерра:
    H2n(x)=(2)nn!Ln(1/2)(x2/2),   H2n+1(x)=(2)nn!xLn(1/2)(x2/2)

Применение

(d2dx2+x2)ψn(x)=λnψn(x).
Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям λn=2n+1. Нормированные на единицу, они записываются как
ψn(x)=ex22(1)n2nn!πHn(x) ,  n=0,1,2,.
В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита Hn(x).
  • Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности utuxx=0 на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции u(x,t)=eαx+α2t. Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по α:
eαx+α2t=n=0αnn!Pn(x,t),
то функции Pn(x,t), которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию Pn(x,t=0)=xn, выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
Pn(x,t)=(i2t)nHn(xi2t)=14πt+e(xy)24tyndy.
Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
  • В лазерной физике, а точнее — в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита — Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.

Ссылки