Многочлены Эрмита
Шаблон:Семейство ортогональных многочленов Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
Названы в честь французского математика Шарля Эрмита.
Определение
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
- [math]\displaystyle{ H_n^\mathrm{math}(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2} }[/math];
в физике обычно используется другое определение:
- [math]\displaystyle{ H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} }[/math].
Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого
- [math]\displaystyle{ H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{math}(\sqrt{2}\,x) }[/math].
Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):
- [math]\displaystyle{ H_0(x)=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_1(x)=x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_2(x)=x^2-1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_3(x)=x^3-3x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_4(x)=x^4-6x^2+3 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_5(x)=x^5-10x^3+15x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945 }[/math] .
Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:
- [math]\displaystyle{ H_0(x)=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_1(x)=2x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_2(x)=4x^2-2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_3(x)=8x^3-12x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_4(x)=16x^4-48x^2+12 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_5(x)=32x^5-160x^3+120x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680 }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x }[/math]
- [math]\displaystyle{ H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240 }[/math]
Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид: [math]\displaystyle{ H_n(x)=\sum_{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{(-1)^j} \frac{n!}{j!(n-2j)!}(2x)^{n-2j}=(2x)^n-\frac{n(n-1)}{1}(2x)^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}(2x)^{n-4}-\ldots, }[/math]
Свойства
- Многочлен [math]\displaystyle{ H_n(x) }[/math] содержит члены только той же чётности, что и само число [math]\displaystyle{ n }[/math]:
- Многочлен [math]\displaystyle{ H_n(x) }[/math] чётен при чётном [math]\displaystyle{ n }[/math] и нечётен при нечётном [math]\displaystyle{ n }[/math]:
- [math]\displaystyle{ H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0,1,2, \ldots }[/math].
- При [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] верны такие соотношения:
- [math]\displaystyle{ H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n}{2^n}\dfrac{(2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots }[/math], (в вероятностном определении)
- [math]\displaystyle{ H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n (2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots }[/math]. (в физическом определении)
- Уравнение [math]\displaystyle{ H_n(x)=0 }[/math] имеет [math]\displaystyle{ n }[/math] вещественных корней, попарно симметричных относительно начала системы координат, и модуль каждого из них не превосходит величины [math]\displaystyle{ \sqrt{n(n-1)/2} }[/math]. Корни многочлена [math]\displaystyle{ H_n(x)=0 }[/math] чередуются с корнями многочлена [math]\displaystyle{ H_{n+1}(x)=0 }[/math].
- Многочлен [math]\displaystyle{ H_n(x) }[/math] можно представить в виде определителя матрицы [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]:
- [math]\displaystyle{ H_n(x)=\left |\begin{array}{cccccc} x & n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & x & n-2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & x & n-3 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right | }[/math]
Формула сложения
Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:
- [math]\displaystyle{ \frac{(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^{\frac{\mu}{2}}}{\mu!}H_{\mu} \left [ \frac{a_1 x_1+a_2 x_2+\cdots a_nx_n}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}}\right ]= \sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{a_1^{m_1}}{m_1!}\cdots \frac{a_n^{m_n}}{m_n!} H_{m_1}(x_1)\cdots H_{m_n}(x_n)~. }[/math]
Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:
- [math]\displaystyle{ a_1=a_2=\cdots =a_n=1 }[/math], [math]\displaystyle{ x_1=x_2=\cdots =x_n }[/math]. Тогда
- [math]\displaystyle{ n^{\frac{\mu}{2}}H_{\mu}(\sqrt{n}x)=\sum_{m_1+\cdots+m_n=\mu}\frac{\mu!}{m_1!\cdots m_n!}H_{m_1}(x)\cdots H_{m_n}(x) }[/math].
- [math]\displaystyle{ n=2 }[/math], [math]\displaystyle{ a_1=a_2=1 }[/math], [math]\displaystyle{ x_1=\sqrt{2}x,~x_2=\sqrt{2} y }[/math]. Тогда
- [math]\displaystyle{ 2^\mu H_{\mu}(x+y)=\sum_{p+q+r+s=\mu}\frac{\mu!}{p!~q!~r!~s!}H_p(x)H_q(x)H_p(y)H_q(y) }[/math].
Дифференцирование и рекуррентные соотношения
Производная [math]\displaystyle{ k }[/math]-го порядка от многочлена Эрмита [math]\displaystyle{ H_n(x) }[/math], [math]\displaystyle{ n\ge k }[/math] также есть многочлен Эрмита (для физического определения):
[math]\displaystyle{
\frac{d^k}{dx^k}H_n(x)=2^kn(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~, }[/math]
Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения)
[math]\displaystyle{ H'_n(x)=\frac{dH_n(x)}{dx}=2nH_{n-1}(x) }[/math]
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
[math]\displaystyle{
H_n(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2
}[/math]
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
[math]\displaystyle{
H_n(x)-2xH_{n-1}(x)+2(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~ n \ge 2
}[/math]
Ортогональность
Многочлены Эрмита образуют полную ортогональную систему на интервале [math]\displaystyle{ (-\infty,+\infty) }[/math] с
весом [math]\displaystyle{ e^{-x^2/2} }[/math] или [math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math] в зависимости от определения:
- [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n! \sqrt{2\pi}~\delta_{\mathit{nm}} }[/math], (в вероятностном определении)
- [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx=2^n n! \sqrt{\pi}~\delta_{\mathit{nm}} }[/math], (в физическом определении)
где [math]\displaystyle{ \delta_{mn} }[/math] — дельта-символ Кронекера.
Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого [math]\displaystyle{ p }[/math] справедлива запись
[math]\displaystyle{ \frac{x^p}{p!}=\sum_{k=0}^{k\le p/2}\frac{1}{2^k}\frac{1}{k!(p-2k)!}H_{p-2k}(x). }[/math]
Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n }[/math] и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита, [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty A_n H_n(x) }[/math],которые называются отношениями Нильса Нильсона:
[math]\displaystyle{ A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}a_{n+2k},~~~a_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2^k}\frac{(n+2k)!}{k!}A_{n+2k} }[/math]
Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:
[math]\displaystyle{ {}_1F_1(\alpha,\gamma;x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(\alpha,n)}{(\gamma,n)(1,n)}{}_2F_2\left (\frac{\alpha+n}{2},\frac{\alpha+n+1}{2};\frac{\gamma+n}{2},\frac{\gamma+n+1}{2}; \frac{1}{2}\right )H_n(x),~~~(a,b)\equiv\frac{\Gamma (a+b)}{\Gamma(a)}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ {}_2F_2 (a_1,a_2;b_1,b_2;x) }[/math] —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, [math]\displaystyle{ \Gamma(x) }[/math] — гамма-функция.
Разложение функций, в которых присутствует экспонента.
Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент
[math]\displaystyle{
f(x)=\sum_{k=1}^{p}c_k e^{\alpha_k x},
}[/math]
можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
[math]\displaystyle{
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}A_n H_n(x)~,~~~A_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{p}c_k \alpha_k^n e^{\frac{\alpha_k^2}{2}}~.
}[/math]
Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид
- [math]\displaystyle{ \mathrm{ch}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~ \mathrm{sh}\, {tx}=e^{\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cos {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n}}{(2n)!}H_{2n}(x),~~~ \sin {tx}=e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}H_{2n+1}(x), }[/math]
Дифференциальные уравнения
Многочлены Эрмита [math]\displaystyle{ H_n(x) }[/math] являются решениями линейного дифференциального уравнения:
[math]\displaystyle{ y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0 }[/math]
Если [math]\displaystyle{ n }[/math] является целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как
[math]\displaystyle{ y(x)=AH_n(x)+Bh_n(x) }[/math],
где [math]\displaystyle{ A,B }[/math] — произвольные постоянные, а функции [math]\displaystyle{ h_n(x) }[/math] называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций [math]\displaystyle{ e^{x^2/2} }[/math] и [math]\displaystyle{ \int_0^x e^{z^2/2}dz }[/math].
Представления
Многочлены Эрмита предполагают такие представления:
[math]\displaystyle{ H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{e^{zx-z^2/2}}{z^{n+1}}\,dz }[/math]
где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — контур, который охватывает начало координат.
Другое представление имеет вид:
[math]\displaystyle{ H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+iy)^n e^{-\frac{y^2}{2}}dy }[/math].
Связь с другими специальными функциями
- Связь с функцией Куммера:
- [math]\displaystyle{ H_{2n}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n)!}{n!} ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{1}{2};\frac{x^2}{2}\right )~,~~~H_{2n+1}(x)=\frac{(-1)^n}{2^n}\frac{(2n+1)!}{n!}x ~{}_1F_1\left ( -n;\frac{3}{2};\frac{x^2}{2}\right ) }[/math]
- Связь с многочленами Лагерра:
- [math]\displaystyle{ H_{2n}(x) = (-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^2/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x) = (-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^2/2) }[/math]
Применение
- В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравнения Шрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:
- [math]\displaystyle{ \left (-\frac{d^2}{dx^2}+x^2 \right )\psi_n(x)=\lambda_n \psi_n(x) }[/math].
- Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям [math]\displaystyle{ \lambda_n=2n+1 }[/math]. Нормированные на единицу, они записываются как
- [math]\displaystyle{ \psi_n(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}\frac{(-1)^n}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}}H_n^*(x)~,~~n=0,1,2,\dots }[/math].
- В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита [math]\displaystyle{ H_n^*(x) }[/math].
- Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности [math]\displaystyle{ u_t-u_{xx}=0 }[/math] на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции [math]\displaystyle{ u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha^2 t} }[/math]. Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]:
- [math]\displaystyle{ e^{\alpha x+\alpha^2 t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{n!}P_n(x,t) }[/math],
- то функции [math]\displaystyle{ P_n(x,t) }[/math], которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию [math]\displaystyle{ P_n(x,t=0)=x^n }[/math], выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
- [math]\displaystyle{ P_n(x,t)=(i\sqrt{2t})^nH_n \left ( \frac{x}{i\sqrt{2t}} \right )=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}y^n dy }[/math].
- Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
- В лазерной физике, а точнее — в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита — Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews
 | Для улучшения этой статьи желательно: |
