Многочлены Эрмита
Шаблон:Семейство ортогональных многочленов Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
Названы в честь французского математика Шарля Эрмита.
Определение
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
;
в физике обычно используется другое определение:
.
Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого
.
Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):
.
Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:
Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:
Свойства
- Многочлен
содержит члены только той же чётности, что и само число : - Многочлен
чётен при чётном и нечётен при нечётном : .
- При
верны такие соотношения: , (в вероятностном определении) . (в физическом определении)
- Уравнение
имеет вещественных корней, попарно симметричных относительно начала системы координат, и модуль каждого из них не превосходит величины . Корни многочлена чередуются с корнями многочлена . - Многочлен
можно представить в виде определителя матрицы :
Формула сложения
Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:
Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:
, . Тогда
.
, , . Тогда
.
Дифференцирование и рекуррентные соотношения
Производная
Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения)
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Ортогональность
Многочлены Эрмита образуют полную ортогональную систему на интервале
, (в вероятностном определении) , (в физическом определении)
где
Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита.
Для любого неотрицательного целого
Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена
Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:
где
Разложение функций, в которых присутствует экспонента.
Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент
Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид
Дифференциальные уравнения
Многочлены Эрмита
Если
где
Представления
Многочлены Эрмита предполагают такие представления:
где
Другое представление имеет вид:
Связь с другими специальными функциями
- Связь с функцией Куммера:
- Связь с многочленами Лагерра:
Применение
- В квантовой механике многочлены Эрмита входят в выражение волновой функции квантового гармонического осциллятора. В безразмерных переменных уравнения Шрёдингера, которое описывает состояние квантового гармонического осциллятора, имеет вид:
.
- Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям
. Нормированные на единицу, они записываются как .
- В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита
.
- Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности
на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по :
,
- то функции
, которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
.
- Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
- В лазерной физике, а точнее — в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита — Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews
Для улучшения этой статьи желательно: |