Многочлены Лагерра
Шаблон:Ортогональные многочлены 2 В математике многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра:
- [math]\displaystyle{ x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0, }[/math]
являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра[1]. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty f(x)e^{-x}\,dx. }[/math]
Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как [math]\displaystyle{ L_0,\;L_1,\;\ldots }[/math], являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига
- [math]\displaystyle{ L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)=\sum^{n}_{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\choose k}x^k. }[/math]
Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:
- [math]\displaystyle{ \langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx. }[/math]
Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.
Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.
Имеются и другие применения многочленов Лагерра.
Несколько первых многочленов
В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:
| [math]\displaystyle{ n }[/math] | [math]\displaystyle{ L_n(x) }[/math] |
| 0 | [math]\displaystyle{ 1 }[/math] |
| 1 | [math]\displaystyle{ -x+1 }[/math] |
| 2 | [math]\displaystyle{ {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) }[/math] |
| 3 | [math]\displaystyle{ {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) }[/math] |
| 4 | [math]\displaystyle{ {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) }[/math] |
| 5 | [math]\displaystyle{ {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) }[/math] |
| 6 | [math]\displaystyle{ {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) }[/math] |
Рекуррентная формула
Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:
- [math]\displaystyle{ L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}\bigl[(2k+1-x)L_k(x)-kL_{k-1}(x)\bigr],\quad\forall k\geqslant 1, }[/math]
предопределив первые два полинома как:
- [math]\displaystyle{ L_0(x)=1, }[/math]
- [math]\displaystyle{ L_1(x)=1-x. }[/math]
Обобщённые полиномы Лагерра
Обобщённые полиномы Лагерра [math]\displaystyle{ L_n^a(x) }[/math] являются решениями уравнения:
- [math]\displaystyle{ x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0, }[/math]
так что [math]\displaystyle{ L_n(x)=L_n^0(x) }[/math].
Примечания
