Многочлены Якоби

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

Шаблон:Ортогональные многочлены 2 Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Определение

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные:

[math]\displaystyle{ P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} \,_2F_1\left(-n,\;1+\alpha+\beta+n;\;\alpha+1;\;\frac{1-z}{2}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ (\alpha+1)_n }[/math] является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

[math]\displaystyle{ P_n^{(\alpha,\;\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m, }[/math]

Откуда одно из конечных значений следующее

[math]\displaystyle{ P_n^{(\alpha,\;\beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}. }[/math]

Для целых [math]\displaystyle{ n }[/math]

[math]\displaystyle{ {z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma(z) }[/math] — обычная гамма-функция, и

[math]\displaystyle{ {z\choose n} = 0 \quad\text{для}\quad n \lt 0. }[/math]

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

[math]\displaystyle{ \int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\;\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\;\beta)} (x) \, dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}, }[/math]

для [math]\displaystyle{ \alpha\gt -1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta\gt -1 }[/math].

Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.

[math]\displaystyle{ P_n^{(\alpha,\;\beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta,\; \alpha)} (z); }[/math]

а потому ещё одно значение полиномов:

[math]\displaystyle{ P_n^{(\alpha,\;\beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n}. }[/math]

Для действительного [math]\displaystyle{ x }[/math] полином Якоби может быть записан следующим образом.

[math]\displaystyle{ P_n^{(\alpha,\;\beta)}(x)= \sum_s {n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ s \geqslant 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ n-s \geqslant 0 }[/math].

В особом случае, когда [math]\displaystyle{ n }[/math], [math]\displaystyle{ n+\alpha }[/math], [math]\displaystyle{ n+\beta }[/math] и [math]\displaystyle{ n+\alpha +\beta }[/math] — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

[math]\displaystyle{ P_n^{(\alpha,\;\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)! \sum_s \left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}. }[/math]

Сумма берется по всем целым значениям [math]\displaystyle{ s }[/math], для которых аргументы факториалов неотрицательны.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера [math]\displaystyle{ d^j_{m' m}(\varphi) }[/math] ([math]\displaystyle{ 0\leqslant \varphi\leqslant 4\pi }[/math]) в терминах полиномов Якоби

[math]\displaystyle{ d^j_{m'm}(\varphi) = \xi_{m'm}\left[ \frac{(s)!(s+\mu+\nu)!}{(s+\mu)!(s+\nu)!}\right]^{1/2} \left(\sin\frac{\varphi}{2}\right)^{\mu} \left(\cos\frac{\varphi}{2}\right)^{\nu} P_{s}^{(\mu,\;\nu)}(\cos \varphi) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mu = |m - m'|, \nu = |m+m'|,s = j -\frac{1}{2}(\mu + \nu) }[/math]

Величина [math]\displaystyle{ \xi_{m'm} }[/math] определяется формулой

[math]\displaystyle{ \xi_{m'm} = \begin{cases} 1, & \text{if }m\geq m' \\ (-1)^{m'-m}, & \text{if }m\lt m' \end{cases} }[/math]

Производные

[math]\displaystyle{ k }[/math]-я производная явного выражения приводит к

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k} P_n^{(\alpha,\;\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k,\; \beta+k)} (z). }[/math]

Литература

• Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Special functions, vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR: 1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 .
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .