Многочлены Полачека

Многочлены Полачека — последовательность многочленов [math]\displaystyle{ P^\lambda_n(x;\varphi),\;\lambda \gt 0,\;0\lt \varphi\lt \pi,\;n=\{0,1,...\} }[/math], которые были рассмотрены Полачеком в 1950 году.

Рекурсивное определение

[math]\displaystyle{ P^\lambda_{-1}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ P^\lambda_0=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ nP^\lambda_n-2\left((n-1+\lambda)\cos\varphi+x\sin\varphi\right)P^\lambda_{n-1}+(n-2+2\lambda)P^\lambda_{n-2}=0 }[/math]

Свойства

• Симметричные многочлены Полачека [math]\displaystyle{ \left(P^\lambda_n(x;\pi/2)\right) }[/math] ортогональны на всей вещественной оси с весом:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\frac{2^{2\lambda}}{\Gamma(2\lambda)}{|\Gamma(\lambda+ix)|}^2 }[/math], где [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — гамма-функция Эйлера

• Аналог формул Родрига для многочленов Полачека:

[math]\displaystyle{ P^\lambda_n(x;\pi/2)G(\lambda,x)=\frac{{-1}^n}{n!}\delta^nG\left(\lambda+\frac{n}{2}\right) }[/math], где [math]\displaystyle{ G(\lambda,x)=\frac{\Gamma(\lambda+ix)}{\Gamma(1-\lambda+ix)}e^{\pi x} }[/math] — мероморфная функция, а [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — оператор конечной разности [math]\displaystyle{ (\delta F)(x)=F\left(x+\frac{i}{2}\right)-F\left(x-\frac{i}{2}\right) }[/math]

Литература

• В. Н. Сорокин. Обобщенные многочлены Полачека (рус.) // Матем. сб.. — 2009. — Т. 200, № 4. — С. 113—130.