Гауссова функция

Эта статья — о гауссовой функции в общей форме. О её частном случае — функции плотности нормального распределения, также называемой гауссовой — см. Нормальное распределение.

Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

[math]\displaystyle{ g\left(x\right) = a e^{ -\frac{(x-b)^2}{2c^2} } }[/math],

где параметры [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратичное отклонение [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] и математическое ожидание [math]\displaystyle{ \mu }[/math]:

[math]\displaystyle{ a = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} }[/math], [math]\displaystyle{ b = \mu }[/math], [math]\displaystyle{ c = \sigma }[/math],

Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и среднеквадратичного отклонения [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]

График гауссовой функции при [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math] — колоколообразная кривая, параметр [math]\displaystyle{ a }[/math] определяет максимальную высоту графика — пик колокола, [math]\displaystyle{ b }[/math] отвечает за сдвиг пика от нуля (при [math]\displaystyle{ b=0 }[/math] — пик в нуле), а [math]\displaystyle{ c }[/math] влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функции. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

Свойства

Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр [math]\displaystyle{ c }[/math] связан с полушириной колокола графика следующим образом:

[math]\displaystyle{ w = 2 \sqrt{2 \ln 2}\ c \approx 2{,}35482 \cdot c }[/math].

Гауссова функция может быть выражена через полуширину [math]\displaystyle{ w }[/math] колокола графика следующим образом:

[math]\displaystyle{ g(x) = a e^{- \frac{4 \ln (2) (x-b)^2 }{ w^2} } }[/math].

Перегибы [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] — две точки, в которых [math]\displaystyle{ x = b \pm c }[/math].

Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}g(x) = 0 }[/math].

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл гауссовой функции:

[math]\displaystyle{ \int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt }[/math]

— это (с точностью до постоянного множителя) — функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа:

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty a e^{- { (x-b)^2 \over 2 c^2 } }\,dx=ac\cdot\sqrt{2\pi} }[/math].

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:

[math]\displaystyle{ a = \frac{1}{c\sqrt{2\pi}} }[/math],

и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием [math]\displaystyle{ \mu = b }[/math] и дисперсией [math]\displaystyle{ \sigma^2 = c^2 }[/math].

Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр [math]\displaystyle{ c }[/math] свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: [math]\displaystyle{ c^2 = c_1^2 + c_2^2 }[/math]. Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

Многомерные обобщения

Двумерная гауссиана, коэффициенты (в общей форме):
[math]\displaystyle{ A = 1 }[/math],
[math]\displaystyle{ (x_0, y_0) = (0, 0) }[/math],
[math]\displaystyle{ a = c = 1/2 }[/math],
[math]\displaystyle{ b = 0 }[/math]

Пример двумерного варианта гауссовой функции:

[math]\displaystyle{ g(x,y) = A \cdot e^{\left(- \left(\frac{(x-x_0)^2}{2\sigma_x^2} + \frac{(y-y_0)^2}{2\sigma_y^2} \right)\right)} }[/math],

здесь [math]\displaystyle{ A }[/math] задаёт высоту колокола, [math]\displaystyle{ (x_0, y_0) }[/math] определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а [math]\displaystyle{ (\sigma_x, \sigma_y) }[/math] отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:

[math]\displaystyle{ V = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y)\,dx \,dy=2 \pi A \sigma_x \sigma_y }[/math]

В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ g(x,y) = A \exp\left(- \left(a(x - x_0)^2 + 2b(x-x_0)(y-y_0) + c(y-y_0)^2 \right)\right) }[/math],

где матрица:

[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} a & b \\ b & c \end{matrix}\right] }[/math]

положительно определена.

Вариант гауссовой функции в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве:

[math]\displaystyle{ g(x) = \exp(-x^TAx) }[/math],

где [math]\displaystyle{ x= (x_1,\dots,x_n) }[/math] — вектор-столбец из [math]\displaystyle{ n }[/math] компонентов, [math]\displaystyle{ A }[/math] — положительно определённая матрица размера [math]\displaystyle{ n\times n }[/math], и [math]\displaystyle{ x^T }[/math] — операция транспонирования над [math]\displaystyle{ x }[/math].

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством [math]\displaystyle{ \R^n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int_{\R^n} \exp(-x^TAx) \, dx = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det A}} }[/math].

Возможно определить [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный вариант и со сдвигом:

[math]\displaystyle{ g(x) = \exp(-x^TAx+s^Tx) }[/math],

где [math]\displaystyle{ s= (s_1,\dots,s_n) }[/math] — вектор сдвига, а матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] — симметричная ([math]\displaystyle{ A^T=A }[/math]) и положительно определённая.

Супергауссова функция

Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень [math]\displaystyle{ P }[/math]:

[math]\displaystyle{ sg(x) = A \exp\left(-\left(\frac{(x-x_o)^2}{2\sigma_x^2}\right)^P\right) }[/math],

получившая применение для описания свойств гауссовых пучков. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам [math]\displaystyle{ P_x }[/math] и [math]\displaystyle{ P_y }[/math]:

[math]\displaystyle{ sg(x,y) = A \exp\left(- \left(\frac{(x-x_o)^2}{2\sigma_x^2}\right)^{P_x} - \left(\frac{(y-y_o)^2}{2\sigma_y^2} \right)^{P_y}\right) }[/math].

Применения

Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния квантового гармонического осциллятора.

В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.

Литература

• L. M. B. C. Campos. 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions // Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces. — Boca Raton: CRC Press, 2014. — 823 с. — ISBN 978-1-4200-7115-3.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Gaussian Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Integrating The Bell Curve / MathPages (англ.)