Метод функции Грина

Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Решение через функцию Грина применяется в краевых задачах для уравнений эллиптического типа.

В физике метод находит применение при решении задачи об отклике физической системы на выводящее её из равновесия внешнее воздействие. В соответствии с принципом причинности, состояние системы полностью определяется её предысторией. Таким образом, для поиска состояния системы в данный момент требуется решить эволюционную задачу и возникающие в ней дифференциальные уравнения.

Если отклонение системы от состояния равновесия мало, то малы и нелинейные члены соответствующего разложения, значит реакцию системы можно изучать в рамках линейных уравнений. Поскольку основное состояние большинства рассматриваемых систем не меняется со временем, то возникающие уравнения имеют постоянные коэффициенты.

Уравнение с постоянными коэффициентами

Одномерное уравнение n-го порядка

Если для, в общем случае, полиномиального дифференциального оператора:

[math]\displaystyle{ L = a_n\frac{d^n}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}+\ldots+a_1\frac{d}{dt}+a_0 }[/math]

задано уравнение:

[math]\displaystyle{ Lx(t)=\phi(t)\qquad }[/math],

то функция Грина [math]\displaystyle{ G }[/math] оператора [math]\displaystyle{ L }[/math] определяется решением:

[math]\displaystyle{ LG(t,t')=\delta(t-t') }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta }[/math] — дельта-функция Дирака. Так как [math]\displaystyle{ a_i }[/math] не зависят от времени, вид уравнения при замене [math]\displaystyle{ t \rightarrow t-t' }[/math] не меняется (соблюдается однородность по времени), поэтому функция Грина зависит от одного параметра: [math]\displaystyle{ G(t,t')\equiv G(t-t') }[/math].

Согласно свойствам дельта-функции, верно равенство:

[math]\displaystyle{ \int LG(t-t')\phi(t')\,dt'=\int \delta(t-t')\phi(t')\,dt'=\phi(t) }[/math].

Тогда, при рассмотрении [math]\displaystyle{ t\in(-\infty,\infty) }[/math] в предположении, что начальные условия за бесконечное время забываются, непосредственной подстановкой проверяется, что решением уравнения будет:

[math]\displaystyle{ x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} dt'\,G(t-t')\phi(t') }[/math]

Функция Грина таким образом определяет для момента времени [math]\displaystyle{ t }[/math] влияние «ударного» воздействия на систему, прошедшего в момент времени [math]\displaystyle{ t' }[/math].

Однако, функция Грина может быть выбрана неоднозначно, с точностью до решения однородного (с нулевой правой частью) заданного уравнения. Принцип причинности же гласит, что система реагирует на воздействие приложенное в прошлом, но не в будущем. То есть [math]\displaystyle{ G(t,t') = 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ t \lt t' }[/math].

Это ограничение обозначается с помощью функции Хевисайда [math]\displaystyle{ \theta(t) }[/math] и функция Грина ищется в виде:

[math]\displaystyle{ G(t)=\theta(t)f(t) }[/math],

где [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] является решением заданного однородного уравнения и зависит от [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] постоянных.

В случае, когда [math]\displaystyle{ L }[/math] не вырожден, [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] будет иметь вид:

[math]\displaystyle{ f(t)=\sum_ib_i\exp(-z_it) }[/math].

В силу свойств дельта-функции и её производных, а также некоторой симметрии бинома Ньютона:

[math]\displaystyle{ \int dt \Big(\theta(t)f(t)\Big)^{(n)}=f^{(n-1)}(0) + \int dt\,\theta(t)f(t) }[/math]

Это приводит к:

[math]\displaystyle{ \int dt\, LG(t)=\int dt\,\delta(t) \;\Leftrightarrow\;\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}f^{(k)}(0)= 1 }[/math].

Так как члены, удовлетворяющие заданному однородному уравнению, сокращаются, то:

[math]\displaystyle{ \frac{d^{(n-1)}}{dt^{(n-1)}}f(0)=1/a_n;\;\frac{d^{(k)}}{dt^{(k)}}f(0)=0,\;k=0,1,\ldots,n-2 }[/math].

В этом случае уже возможно найти функцию Грина однозначно.

Если полагать, что для времени [math]\displaystyle{ t=0 }[/math], когда началась эволюция системы, были заданы начальные условия, то уравнение перепишется:

[math]\displaystyle{ Lx(t) = \phi(t) + \sum_{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)\delta^{(n-1-k)}(t) }[/math].

Тогда:

[math]\displaystyle{ x(t)=\sum_{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)G^{(n-k-1)}(t)+\int_0^tdt'\,G(t-t')\phi(t) }[/math],

лишь последнее слагаемое здесь является вынужденным решением, вызываемым внешним воздействием.

Многомерное уравнение 1-го порядка

Ниже рассматривается линейное уравнение для векторной величины [math]\displaystyle{ \boldsymbol y }[/math], где [math]\displaystyle{ \hat\Gamma }[/math] — матрица, определяющая динамику системы:

[math]\displaystyle{ \dot\boldsymbol y(t)+\hat\Gamma\boldsymbol y(t) = \boldsymbol\chi(t) }[/math].

К такому виду сводится рассмотренное уравнение [math]\displaystyle{ n }[/math]-го порядка для скалярной величины [math]\displaystyle{ x }[/math]. Для этого следует положить, что:

[math]\displaystyle{ \boldsymbol y_i(t) = x^{(i-1)}(t) }[/math]

для начинающейся с единицы нумерации компонент.

Аналогично предыдущему случаю, решение записывается в виде:

[math]\displaystyle{ \boldsymbol y(t)=\int_{-\infty}^t dt'\,\hat G(t-t')\boldsymbol\chi(t') }[/math].

Функция Грина, удовлетворяющая условию:

[math]\displaystyle{ \left(\frac{d}{dt}+\hat\Gamma\right)\hat G(t)=\hat{1}\,\delta(t) }[/math],

ищется, в свою очередь, в виде:

[math]\displaystyle{ \hat G(t)=\theta(t)\exp(-\hat\Gamma t) }[/math].

Экспоненту от матрицы принято рассматривать при переходе к собственному базису оператора [math]\displaystyle{ \hat\Gamma }[/math], где тот либо диагонален, либо содержит клетки Жордана (в случае вырожденных собственных значений).

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа эволюционного уравнения позволяет свести процедуру решения к интегрированию в комплексной плоскости.

Преобразование для [math]\displaystyle{ LG(t)=\delta(t) }[/math] для полиномиального оператора [math]\displaystyle{ L }[/math] запишется

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}\left\{LG(t)\right\}=\mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\}\;\Leftrightarrow\;L(s)\widetilde{G}(s)=1\;\Rightarrow\;\widetilde G(s)=\frac{1}{L(s)} }[/math]

Где [math]\displaystyle{ \widetilde{G}(s)=\mathcal{L}\{G(t)\} }[/math], а [math]\displaystyle{ L(s) }[/math] — соответствующий оператору [math]\displaystyle{ L }[/math] многочлен, содержащий вместо n-й производной n-ю степень s.

Доказательство

Достаточно рассмотреть выражение при n-й производной функции G

[math]\displaystyle{ \int_{-\varepsilon}^\infty dt\,e^{-pt}\frac{d^n}{dt^n}G(t) }[/math]

Где [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — малый параметр, существенный для дельта-функции в правой части рассматриваемого уравнения

После взятия по частям, с учётом того, что внеинтегральные члены на границах равны нулю (на нижней в силу причинности), интеграл запишется

[math]\displaystyle{ \int_{-\varepsilon}^\infty dt\,e^{-pt}\frac{d^n}{dt^n}G(t)=0+p\int_{-\varepsilon}^\infty dt\,e^{-pt}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}G(t) }[/math]

Повторение процедуры n раз приводит к

[math]\displaystyle{ \int_{-\varepsilon}^\infty dt\,e^{-pt}\frac{d^n}{dt^n}G(t)=p^n\int_{-\varepsilon}^\infty dt\,e^{-pt}G(t)=p^n\mathcal{L}\left\{G(t)\right\} }[/math]

■

Тогда, по свойству преобразования Лапласа для свёртки:

[math]\displaystyle{ \tilde{x}(s)=\mathcal{L}\left\{\int dt\,G(t-t')\phi(t)\right\}=\frac{\tilde\phi(s)}{L(s)} }[/math]

Где [math]\displaystyle{ \tilde{x}(s),\,\tilde{\phi}(s) }[/math] — преобразования Лапласа для [math]\displaystyle{ x(t),\,\phi(t) }[/math] соответственно.

После обратного преобразования:

[math]\displaystyle{ x(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} ds\,e^{st}\frac{\tilde\phi(s)}{L(s)} }[/math]

Интеграл, в силу возможности сдвигать контур влево, в частности, считается использованием теоремы о вычетах. Таким образом, преобразование Лапласа указывает прямой путь к нахождению вынужденного решения. Описанное справедливо и для многомерного уравнения, с тем замечанием, что придётся использовать матричную функцию.

Неоднородное по времени уравнение

Если система не находится в равновесии, то её состояние меняется со временем, что выражается во временной зависимости коэффициентов. Это значит, что функция Грина зависит от обоих переменных:

[math]\displaystyle{ LG(t,t')=\delta(t-t') }[/math]

и решение для:

[math]\displaystyle{ G(t-t')=\theta(t-t')\exp(-\gamma t) }[/math]

перепишется:

[math]\displaystyle{ G(t,t')=\theta(t-t')\exp\left[-\int_{t'}^t d\tau\,\gamma(\tau)\right] }[/math].

При постоянном [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] уравнение приобретает прежний вид.

В случае векторного уравнения:

[math]\displaystyle{ \dot\boldsymbol y + \hat\Gamma(t)\boldsymbol y = \boldsymbol \chi(t) }[/math]

матрицы [math]\displaystyle{ \hat\Gamma }[/math] в различные моменты времени, вообще говоря, не коммутируют, поэтому решение запишется с помощью хронологически упорядоченной экспоненты:

[math]\displaystyle{ G(t,t')=\theta(t-t')\,\mathrm T\exp\left[-\int_{t'}^t d\tau\,\hat\Gamma(\tau)\right] }[/math].

Литература

• Колоколов И.В., Лебедев В. В. Избранные главы математической физики. с. 6-11, 13
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.