Уравнение Коши — Эйлера
 | В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |
В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.
Уравнение порядка n
Общий вид уравнения :
- [math]\displaystyle{
\sum^{n}_{k=0} {a_k(\alpha x + \beta )^k y^{(k)}(x)}= f(x)
}[/math].
Его частный случай :
- [math]\displaystyle{
\sum^{n}_{k=0} {a_kx^k y^{(k)}(x)}= f(x)
}[/math].
Подстановка
Подстановка вида [math]\displaystyle{ \ (\alpha x + \beta ) = e^t }[/math]
то есть [math]\displaystyle{ \ t = \ln (\alpha x + \beta ) }[/math]
приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что
[math]\displaystyle{ \ t_x'= \alpha (\alpha x + \beta )^{-1} }[/math],
[math]\displaystyle{ \ t_{xx}''= -\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2} }[/math] и
[math]\displaystyle{ \ t_{xxx}'''= +2\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} }[/math].
В соответствии с этим:
- [math]\displaystyle{ \ y(t)=y(t(x))
}[/math]
откуда
- [math]\displaystyle{ \ y_x'(x)=y_t'(t)t_x'=y_t'(t)\alpha (\alpha x + \beta )^{-1}
}[/math]
таким образом
- [math]\displaystyle{ \ (\alpha x + \beta )y_x'(x)=\alpha y_t'(t)
}[/math]
Вычислим очередную
производную сложной функции
- [math]\displaystyle{ \ y_{xx}''(x)=(y_x'(x))_x'=(y_t'(t)t_x')_x'=
y_{tt}''(t)t_x't_x'+y_t'(t)t_{xx}''=
y_{tt}''(t)\alpha^2 (\alpha x + \beta )^{-2}+y_t'(t)(-\alpha^2) (\alpha x + \beta )^{-2}
}[/math],
что приводит к
- [math]\displaystyle{ \ (\alpha x + \beta )^2 y_{xx}''(x)=\alpha^2 (y_{tt}''(t)- y_t'(t))
}[/math].
и далее
- [math]\displaystyle{ \ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_x'=(y_{tt}''(t)(t_x')^2+y_t'(t)t_{xx}'')_x'=
y_{ttt}'''(t)t_x'(t_x')^2 + y_{tt}''(t)2t_x't_{xx}'' +
y_{tt}''(t)t_x't_{xx}'' +y_t'(t)t_{xxx}'''=
}[/math]
- [math]\displaystyle{ \ = y_{ttt}'''(t)(t_x')^3 + 3y_{tt}''(t)t_x't_{xx}'' + y_t'(t)t_{xxx}'''=
y_{ttt}'''(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} -
3y_{tt}''(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3} +
2y_t'(t)\alpha^3 (\alpha x + \beta )^{-3}
}[/math]
что, аналогично, приводит к
- [math]\displaystyle{ \ (\alpha x + \beta )^3 y_{xxx}'''(x)= \alpha^3 (y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_t'(t))
}[/math]
Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n
Пример
Дано неоднородное уравнение
- [math]\displaystyle{ \ (2x-1)^3y'''(x)+4(2x-1)^2y''(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln (2x-1) }[/math].
Определив подстановку [math]\displaystyle{ \ t=\ln (2x-1) }[/math] [math]\displaystyle{ \ \left( (2x-1)=e^t \right) }[/math],
приходим к уравнению
- [math]\displaystyle{ \ 8(y'''(t)-3y''(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y''(t)- y'(t)) - 8\cdot 2y'(t)=32t }[/math].
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- [math]\displaystyle{ \ y'''(t)-y''(t)-2y'(t)=4 t }[/math],
решение которого имеет вид
- [math]\displaystyle{ \ y(t)=c_1e^{-1t}+c_2e^{2t}+c_3+t-t^2 }[/math]
или в терминах [math]\displaystyle{ \ x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ y(x)=c_1(2x-1)^{-1}+c_2(2x-1)^{2}+c_3+ln (2x-1)-ln(2x-1)^2 }[/math]
Уравнение второго порядка
Общий вид уравнения :
- [math]\displaystyle{ \ a_2 (\alpha x + \beta )^2 y''(x) + a_1 (\alpha x + \beta ) y'(x) + a_0 y(x) = f(x)
}[/math].
Его частный случай :
- [math]\displaystyle{ \ a_2 x^2 y''(x) + a_1 x y'(x) + a_0 y(x) = f(x)
}[/math].
Подстановкой
[math]\displaystyle{ \ (\alpha x + \beta ) = e^t }[/math] то есть [math]\displaystyle{ \ t = \ln (\alpha x + \beta ) }[/math]
или, соответственно,
- [math]\displaystyle{ \ x = e^t }[/math] то есть [math]\displaystyle{ \ t = \ln x }[/math]
приводится к виду
линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- [math]\displaystyle{ \ a_2 \alpha^2 y''(t) + a_1 \alpha y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)
}[/math].
или, соответственно,
- [math]\displaystyle{ \ a_2 y''(t) + a_1 y'(t) + a_0 y(t) = f(e^t)
}[/math].
Пример
Дано неоднородное уравнение
- [math]\displaystyle{ \ x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x }[/math].
Определив подстановку [math]\displaystyle{ \ t=\ln x }[/math] ([math]\displaystyle{ \ x=e^t }[/math]),
приходим к уравнению
- [math]\displaystyle{ \ (y''(t)- y'(t))- 2y'(t) + 2y(t)=6e^t }[/math].
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- [math]\displaystyle{ \ y''(t)- 3y'(t) + 2y(t)=6e^t }[/math],
решение которого имеет вид
- [math]\displaystyle{ \ y(t)=c_1e^{+1t}+c_2e^{+2t}-6te^{+1t} }[/math]
или в терминах [math]\displaystyle{ \ x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ y(x)=c_1x+c_2x^{2}-6x\ln x }[/math]
Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка
Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:
- [math]\displaystyle{ \ x^2 y''(x) + p x y'(x) + q y(x) = 0
}[/math].
Его решениями являются функции вида:
[math]\displaystyle{ \ y(x) = x^r
}[/math],
где [math]\displaystyle{ r }[/math] — корни характеристического уравнения
- [math]\displaystyle{ \ r^2 + (p - 1)r + q = 0
}[/math],
которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут [math]\displaystyle{ \ x^r }[/math] и [math]\displaystyle{ \ \ln(x) x^r }[/math]
Пример
Дано однородное уравнение
- [math]\displaystyle{ \ x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0 }[/math].
Характеристическое уравнение которого имеет вид
- [math]\displaystyle{ \ r^2 + (-2 - 1)r + 2 = 0 \Leftrightarrow r^2 -3r + 2 = 0
}[/math],
с решениями [math]\displaystyle{ \ r_1=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \ r_2=2 }[/math].
Тогда общее решение однородного уравнения
- [math]\displaystyle{ \ y(x)=c_1x+c_2x^{2} }[/math]