Перейти к содержанию

Конденсат Бозе — Эйнштейна

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Конденсат Бозе-Эйнштейна»)

Конденса́т Бо́зе — Эйнште́йна (бо́зе-эйнште́йновский конденса́т, бо́зе-конденса́т) — агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к абсолютному нулю (меньше миллионной доли кельвина). В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне.

Теоретически предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в 1925 году[1]. 70 лет спустя, в 1995 году, первый бозе-конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) (относящемся к Университету штата Колорадо в Боулдере и Национальному институту стандартов) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом. Учёные использовали газ из атомов рубидия, охлаждённый до 170 нанокельвин (нК) (1,7⋅10−7 кельвин). За эту работу им, совместно с Вольфгангом Кеттерле из Массачусетского технологического института, была присуждена Нобелевская премия по физике 2001 года.

Теория

Замедление атомов с использованием охлаждающей аппаратуры позволяет получить сингулярное квантовое состояние, известное как конденсат Бозе, или Бозе — Эйнштейна. Результатом усилий Бозе и Эйнштейна стала концепция бозе-газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна, которая описывает статистическое распределение тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами. Бозоны, которыми являются, например, и отдельные элементарные частицы — фотоны, и целые атомы, могут находиться друг с другом в одинаковых квантовых состояниях. Эйнштейн предположил, что охлаждение атомов — бозонов до очень низких температур заставит их перейти (или, по-другому, сконденсироваться) в наинизшее возможное квантовое состояние. Результатом такой конденсации станет возникновение новой фазы вещества.

Этот переход возникает ниже критической температуры, которая для однородного трёхмерного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц без каких-либо внутренних степеней свободы, определяется формулой

[math]\displaystyle{ T_c=\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi mk_B}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ T_c }[/math] — критическая температура, [math]\displaystyle{ n }[/math] — концентрация частиц, [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса, [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка, [math]\displaystyle{ k_B }[/math] — постоянная Больцмана, [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] — дзета-функция Римана, [math]\displaystyle{ \zeta(3/2)=2{,}6124\ldots }[/math].

Вывод критической температуры

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии [math]\displaystyle{ i }[/math] равняется

[math]\displaystyle{ n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_B T}-1}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varepsilon_i \gt \mu }[/math], [math]\displaystyle{ n_i }[/math] — количество частиц в состоянии [math]\displaystyle{ i }[/math], [math]\displaystyle{ g_i }[/math] — вырождение уровня [math]\displaystyle{ i }[/math], [math]\displaystyle{ \varepsilon_i }[/math] — энергия состояния [math]\displaystyle{ i }[/math], [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — химический потенциал системы.

Найдём температуру, при которой химический потенциал будет равен нулю. Рассмотрим случай свободных (невзаимодействующих) частиц с параболическим законом дисперсии [math]\displaystyle{ \varepsilon_i = \frac{p^2}{2m} }[/math]. Проинтегрировав по фазовому пространству получим

[math]\displaystyle{ N = \sum_i \frac{1}{e^{\varepsilon_i/k_B T}-1} = \frac{V}{h^3} \int d^3p {1 \over e^{p^2\over 2mk_B T}-1} = \frac{V}{h^3} 4\pi \sqrt 2 (mk_B T)^{3/2} \int\limits_{0}^{\infty} dx \frac{\sqrt{x}}{e^x-1} = \frac{V}{h^3} (2 \pi mk_B T)^{3/2} \zeta(3/2) }[/math].

Откуда уже получается искомое

[math]\displaystyle{ T_c=\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi mk_B} }[/math].

Модель Эйнштейна

Рассмотрим набор из [math]\displaystyle{ N }[/math] невзаимодействующих частиц, каждая из которых может находиться в двух состояниях, [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math] и [math]\displaystyle{ |1\rangle. }[/math] Если энергии обоих состояний одинаковы, то все возможные конфигурации равновероятны.

Для различимых частиц имеется [math]\displaystyle{ 2^N }[/math] различных конфигураций, поскольку каждая частица независимо и с равной вероятностью попадает в состояния [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math] или [math]\displaystyle{ |1\rangle. }[/math] При этом практически во всех состояниях количество частиц в состоянии [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math] и в состоянии [math]\displaystyle{ |1\rangle }[/math] почти равно. Это равновесие является статистическим эффектом: чем меньше разность между количествами частиц в обоих состояниях, тем большим количеством конфигураций (микросостояний) системы она реализуется.

Однако если мы считаем частицы неразличимыми, то система имеет всего лишь [math]\displaystyle{ N+1 }[/math] различных конфигураций. Каждой конфигурации можно сопоставить число [math]\displaystyle{ K }[/math] частиц, находящихся в состоянии [math]\displaystyle{ |1\rangle }[/math] (и [math]\displaystyle{ N-K }[/math] частиц, находящихся в состоянии [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math]); при этом [math]\displaystyle{ K }[/math] может изменяться от 0 до [math]\displaystyle{ N }[/math]. Поскольку все эти конфигурации равновероятны, то статистически никакой концентрации не происходит — доля частиц, находящихся в состоянии [math]\displaystyle{ |1\rangle, }[/math] распределена равномерно по отрезку [0, 1]. Конфигурация, когда все частицы находятся в состоянии [math]\displaystyle{ |0\rangle, }[/math] реализуется с той же вероятностью, что и конфигурация с половиной частиц в состоянии [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math] и половиной — в состоянии [math]\displaystyle{ |1\rangle, }[/math] или конфигурация со всеми частицами в состоянии [math]\displaystyle{ |1\rangle. }[/math]

Если теперь предположить, что энергии двух состояний различны (для определённости, пусть энергия частицы в состоянии [math]\displaystyle{ |1\rangle }[/math] выше, чем в состоянии [math]\displaystyle{ |0\rangle, }[/math] на величину [math]\displaystyle{ E }[/math]), то при температуре [math]\displaystyle{ T }[/math] частица будет с большей вероятностью находиться в состоянии [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math]. Отношение вероятностей равно [math]\displaystyle{ \exp(-E/k_BT) }[/math].

В случае различимых частиц их количество в первом и втором состояниях не будет равно, но отношение населённостей будет всё же близко к единице вследствие вышеуказанного статистического стремления системы к конфигурациям, где разность населённостей невелика (эти макросостояния обеспечиваются наибольшим числом конфигураций).

Напротив, когда частицы неразличимы, распределение населённостей существенно сдвигается в пользу состояния [math]\displaystyle{ |0\rangle, }[/math] и с увеличением числа частиц этот сдвиг будет увеличиваться, поскольку нет никакого статистического давления в сторону малой разности населённостей, и поведение системы определяется лишь большей вероятностью для частицы (при любой конечной температуре) занять более низкоэнергетический уровень.

Каждое значение [math]\displaystyle{ K }[/math] задаёт для неразличимых частиц определённое состояние системы, вероятность которого описывается больцмановским распределением с учётом того, что энергия системы в состоянии [math]\displaystyle{ K }[/math] равна [math]\displaystyle{ KE }[/math] (поскольку ровно [math]\displaystyle{ K }[/math] частиц занимают уровень с энергией [math]\displaystyle{ E }[/math]). Вероятность нахождения системы в этом состоянии:

[math]\displaystyle{ P(K)= C e^{-KE/k_BT} = C p^K }[/math].

Для достаточно больших [math]\displaystyle{ N }[/math] нормировочная константа [math]\displaystyle{ C }[/math] равна [math]\displaystyle{ (1-p) }[/math]. Ожидаемое число частиц в состоянии [math]\displaystyle{ |1\rangle }[/math] в пределе [math]\displaystyle{ N\rightarrow \infty }[/math] равно [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n\gt 0} C n p^n=p/(1-p) }[/math]. При больших [math]\displaystyle{ N }[/math] эта величина практически перестаёт расти и стремится к константе, то есть при большом числе частиц относительная населённость верхнего уровня пренебрежимо мала. Таким образом, в термодинамическом равновесии большинство бозонов будут находиться в состоянии с наименьшей энергией, и лишь малая доля частиц будет в другом состоянии, вне зависимости от того, насколько мала разница уровней энергии.

Рассмотрим теперь газ из частиц, каждая из которых может находиться в одном из импульсных состояний, которые пронумерованы и обозначены как [math]\displaystyle{ |k\rangle. }[/math] Если число частиц гораздо меньше, чем число доступных при данной температуре состояний, все частицы будут находиться на разных уровнях, то есть газ в этом пределе ведёт себя как классический. При увеличении плотности или уменьшении температуры число частиц на один доступный уровень энергии увеличивается, и в какой-то момент число частиц в каждом состоянии дойдёт до максимально возможного числа частиц в данном состоянии. Начиная с этого момента, все новые частицы будут вынуждены переходить в состояние с наименьшей энергией.

Чтобы рассчитать температуру фазового перехода при данной плотности, необходимо проинтегрировать по всем возможным импульсам выражение для максимального числа частиц в возбуждённом состоянии, [math]\displaystyle{ p/(1-p) }[/math]:

[math]\displaystyle{ N = V \int {d^3k \over (2\pi)^3} {p(k)\over 1-p(k)} = V \int {d^3k \over (2\pi)^3} {1 \over e^{k^2\over 2mk_BT}-1}, }[/math]
[math]\displaystyle{ p(k)= e^{-k^2\over 2mk_BT}. }[/math]

При вычислении этого интеграла и подстановке множителя ħ для обеспечения требуемых размерностей получается формула для критической температуры из предыдущего раздела. Таким образом, этот интеграл определяет критическую температуру и концентрацию частиц, соответствующие условиям пренебрежимо малого химического потенциала. Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, [math]\displaystyle{ \mu }[/math] не обязано строго равняться нулю для возникновения бозе-конденсата; однако [math]\displaystyle{ \mu }[/math] меньше энергии основного состояния системы. Ввиду этого, при рассмотрении большинства уровней химический потенциал может считаться приблизительно нулевым, за исключением случаев, когда исследуется основное состояние.

История

В 1924 году в журнале Zeitschrift für Physik[англ.]* вышла статья Шатьендраната Бозе о квантовой статистике световых квантов (теперь называемых фотонами), в которой он вывел квантовый закон излучения Планка без какой-либо ссылки на классическую физику. Сначала Бозе послал эту статью Эйнштейну, тот был так впечатлён, что сам перевёл документ с английского на немецкий язык и передал его Бозе для публикации[2]. Рукопись Эйнштейна долгое время считалась потерянной, но в 2005 году была найдена в библиотеке Лейденского университета[3].

В 1925 году, на основе работы Бозе, Эйнштейн теоретически предсказал существование Конденсата Бозе — Эйнштейна, как следствие из законов квантовой механики[1]. Затем Эйнштейн расширил идеи Бозе в других работах[4][5]. Результатом их усилий стала концепция бозе-газа, который управляется статистикой Бозе — Эйнштейна. Она описывает статистическое распределение неразличимых частиц с целочисленным спином, теперь называемых бозонами. Бозоны, которые включают в себя фотоны, а также атомы, такие как гелий-4, могут занимать одно и то же квантовое состояние. Эйнштейн предположил, что охлаждение бозонных атомов до очень низкой температуры приведёт к их падению (или «конденсации») в самое низкое доступное квантовое состояние, что приведёт к новой форме материи.

В 1938 году Фриц Лондон предположил, что конденсат Бозе — Эйнштейна является механизмом возникновения сверхтекучести в 4He и сверхпроводимости[6].

В 1995 году Эрику Корнеллу и Карлу Вимену из Национального института стандартов и технологий США при помощи лазерного охлаждения удалось охладить около 2 тысяч атомов рубидия-87 до температуры 20 нанокельвинов и экспериментально подтвердить существование конденсата Бозе — Эйнштейна в газах, за что они совместно с Вольфгангом Кеттерле, который четыре месяца спустя получил конденсат Бозе — Эйнштейна из атомов натрия с использованием принципа удержания атомов в магнитной ловушке, в 2001 году были удостоены Нобелевской премии по физике[7].

В 2000 году группе учёных из Гарвардского университета удалось замедлить свет до скорости много меньшей, чем 0,2 мм/с, направив его на конденсат Бозе — Эйнштейна рубидия[8][9]. До этого наименьшая официально зарегистрированная скорость света в среде была чуть больше 60 км/ч — сквозь пары натрия при температуре −272 °C[10].

В 2010 году был впервые получен бозе-эйнштейновский конденсат фотонов[11][12][13].

К 2012 году, используя сверхнизкие температуры 10−7 K и ниже, удалось получить конденсаты Бозе — Эйнштейна для множества отдельных изотопов: (7Li, 23Na, 39K, 41K, 85Rb, 87Rb, 133Cs, 52Cr, 40Ca, 84Sr, 86Sr, 88Sr, 174Yb, 164Dy, и 168Er)[14].

В 2014 году сотрудникам Лаборатории холодного атома (Cold Atom Laboratory, CAL) НАСА и учёным из Калифорнийского технологического института в Пасадине удалось создать конденсат Бозе — Эйнштейна в земном прототипе установки, предназначенной для работы на Международной космической станции[15]. Полнофункциональная установка для создания конденсата Бозе — Эйнштейна в условиях невесомости была отправлена на МКС летом 2018 года. В 2020 году на ней был впервые получен конденсат Бозе — Эйнштейна на борту МКС[16].

В 2018 году российские физики под руководством Игоря Ткачёва разработали теорию, согласно которой могут существовать объекты размером со звезду, состоящие из бозонов, которые при взаимодействии посредством гравитации формируют конденсат Бозе — Эйнштейна за конечное время, эти гипотетические объекты являются кандидатами на роль холодной тёмной материи[17].

В 2020 году исследователи сообщили о создании сверхпроводящего конденсата Бозе — Эйнштейна и о том, что, по-видимому, существует «плавный переход между» режимами БЭК и сверхпроводимостью в теории Бардина–Купера–Шриффера[18][19].

В 2022 году исследователи сообщили о первом создании конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме. Ранее из-за ограничений возможностей испарительного охлаждения все исследователи были ограничены лишь импульсным режимом работы с БЭК, включающим очень неэффективный рабочий цикл, при котором более 99% атомов теряются до перехода в состояние БЭК. Создание условия для конденсации конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме стало важной вехой экспериментальных исследований БЭК[20].

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 A.Douglas Stone, Chapter 24, The Indian Comet, in the book Einstein and the Quantum, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2013.
  2. ↑ S. N. Bose. Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1924. — Bd. 26, Nr. 1. — S. 178—181. — doi:10.1007/BF01327326. — Bibcode: 1924ZPhy...26..178B.
  3. ↑ Leiden University Einstein archive. Lorentz.leidenuniv.nl (27 октября 1920). Дата обращения: 23 марта 2011. Архивировано 19 мая 2015 года.
  4. ↑ A. Einstein. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (неопр.) // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. — 1925. — Т. 1. — С. 3.
  5. ↑ Clark, Ronald W. Einstein: The Life and Times (неопр.). — Avon Books[англ.], 1971. — С. 408—409. — ISBN 978-0-380-01159-9.
  6. ↑ London, F. Superfluids. — Vol. I and II, (reprinted New York: Dover, 1964)
  7. ↑ Пятое состояние вещества. Lenta.ru (30 ноября 2010). Дата обращения: 23 июня 2018. Архивировано 7 апреля 2014 года.
  8. ↑ [http://web.archive.org/web/20110208033459/http://scienceblog.ru/2008/06/18/uchenyie-zamedlili-skorost-sveta-do-02-millimetra-v-sekundu/ Архивная копия от 8 февраля 2011 на Wayback Machine Учёные замедлили скорость света до 0,2 миллиметра в секунду] // ScienceBlog.ru — научный блог.
  9. ↑ Слепов Н. О свете медленном и быстром. По следам презентации Р. Бойда на OFC-2006 // Фотоника. — 2007. — Вып. 1. — С. 16—27.
  10. ↑ Hau L. V. et al. Light speed reduction to 17 metres per second in an ultracold atomic gas (англ.) // Nature. — 1999. — No. 397. — P. 594. — ISSN 0028-0836.
  11. ↑ Немецкие физики научились охлаждать и конденсировать свет (рус.), РИА Новости (25 ноября 2010). Архивировано 28 ноября 2010 года. Дата обращения 23 июня 2018.
  12. ↑ Physicists Create New Source of Light: Bose–Einstein Condensate 'Super-Photons' (англ.), Science Daily (24 November 2010). Архивировано 23 декабря 2010 года. Дата обращения 23 июня 2018.
  13. ↑ Jan Klaers, Julian Schmitt, Frank Vewinger, Martin Weitz. Bose–Einstein condensation of photons in an optical microcavity (англ.) // Nature. — 2010. — Vol. 468. — P. 545—548.
  14. ↑ Dale G. Fried; Thomas C. Killian; Lorenz Willmann; David Landhuis; Stephen C. Moss; Daniel Kleppner; Thomas J. Greytak. Bose–Einstein Condensation of Atomic Hydrogen (англ.) // Phys. Rev. Lett. : journal. — 1998. — Vol. 81, no. 18. — P. 3811. — doi:10.1103/PhysRevLett.81.3811. — Bibcode: 1998PhRvL..81.3811F.
  15. ↑ Elizabeth Landau Cold Atom Laboratory Creates Atomic Dance Архивная копия от 8 июля 2021 на Wayback Machine // NASA.
  16. ↑ | «Nature» 582, pages193-197 (2020): Observation of Bose–Einstein condensates in an Earth-orbiting research lab. Дата обращения: 11 июня 2020. Архивировано 12 июня 2020 года.
  17. ↑ D. G. Levkov, A. G. Panin, and I. I. Tkachev. Gravitational Bose–Einstein Condensation in the Kinetic Regime // Phys. Rev. Lett.. — 2018. — Т. 121. — С. 151301.
  18. ↑ Researchers demonstrate a superconductor previously thought impossible (англ.), phys.org. Архивировано 4 марта 2022 года. Дата обращения 3 сентября 2021.
  19. ↑ (1 November 2020) «Bose–Einstein condensation superconductivity induced by disappearance of the nematic state» (en). Science Advances 6 (45): eabb9052. doi:10.1126/sciadv.abb9052. ISSN 2375-2548. PMID 33158862. Bibcode: 2020SciA....6.9052H.
  20. ↑ (2022) «Continuous Bose–Einstein Condensation». Nature 606 (7915): 683–687. doi:10.1038/s41586-022-04731-z. PMID 35676487. Bibcode: 2022Natur.606..683C.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Конденсат_Бозе_—_Эйнштейна&oldid=7080466