Колебание функции

Колебание функции на множестве [math]\displaystyle{ E }[/math] — точная верхняя грань модуля разности значений функции на всевозможных парах точек [math]\displaystyle{ x_1 }[/math], [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] [math]\displaystyle{ \in }[/math] [math]\displaystyle{ E }[/math].

Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.

Определение

Величина [math]\displaystyle{ \omega(f,E)=\sup_{x_1,x_2\in E}|f(x_1)-f(x_2)| }[/math] называется колебанием функции [math]\displaystyle{ f }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ E }[/math].

Если теперь фиксировать [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math], то можно определить колебание функции [math]\displaystyle{ f }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ U_{E}^{\delta}(a) }[/math]; функция [math]\displaystyle{ \omega(f,a,\delta)=\omega\left(f,U_{E}^{\delta}(a)\right) }[/math] является невозрастающей функцией при [math]\displaystyle{ \delta\to+0 }[/math] и ограниченной снизу, поэтому она

• либо имеет конечный предел при [math]\displaystyle{ \delta\to+0 }[/math],
• либо для любого [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] будет [math]\displaystyle{ \omega(f,a)=+\infty }[/math].

Величина [math]\displaystyle{ \omega(f,a)\colon =\lim_{\delta\to0+}\omega(f,U_{E}^{\delta}(a)) }[/math] называется колебанием функции [math]\displaystyle{ f }[/math] в точке [math]\displaystyle{ a }[/math].

Свойства

• Функция [math]\displaystyle{ f\colon E\to\mathbb{R} }[/math] непрерывна в точке [math]\displaystyle{ a\in E }[/math], предельной для множества [math]\displaystyle{ E }[/math] тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:

[math]\displaystyle{ f\in C(\{a\}) \Leftrightarrow \omega(f,a)=0 }[/math].

• Функция [math]\displaystyle{ f\colon E\to\mathbb{R} }[/math] непрерывна на множестве [math]\displaystyle{ E }[/math] тогда и только тогда, когда для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует элемент базы [math]\displaystyle{ \mathbb{B} }[/math], колебание на котором будет меньше чем заданное [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]:

[math]\displaystyle{ f\in C(E) \Leftrightarrow \exists B\in\mathbb{B}\colon\omega(f,B)\lt \varepsilon }[/math].

См. также

• Модуль непрерывности