Касательное пространство Зарисского

Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.

Мотивировка

Рассмотрим плоскую алгебраическую кривую, заданную полиномиальным уравнением

[math]\displaystyle{ F(x,y)=0. }[/math]

Опишем касательное пространство к этой кривой в начале координат. Выбросим из уравнения все члены порядка больше первого, останется уравнение

[math]\displaystyle{ ax+by=0. }[/math]

Возможны два случая: либо [math]\displaystyle{ a=b=0 }[/math], в этом случае касательное пространство определяется как вся аффинная плоскость (все её точки удовлетворяют уравнению выше), в этом случае начало координат является особой точкой кривой. В противном случае, касательное пространство — это прямая, рассматриваемая как одномерное аффинное пространство. (Более точно, в исходной аффинной плоскости нет никакого начала координат. Однако при определении касательного пространства в точке p естественно выбрать начало координат в этой точке.)

Определение

Кокасательное пространство локального кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] с максимальным идеалом m определяется как

[math]\displaystyle{ \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 }[/math]

где m² — произведение идеалов. Кокасательное пространство является векторным пространством над полем вычетов [math]\displaystyle{ k=R/\mathfrak m }[/math]. Векторное пространство, двойственное к нему, называется касательным пространством R.

Это определение обобщает данный выше пример на более высокие размерности. Грубо говоря, [math]\displaystyle{ R }[/math] — это кольцо ростков функций в точке p. Это кольцо локально, его максимальный идеал — ростки функций, равных нулю в p (максимальный идеал локального кольца состоит в точности из необратимых элементов). Так как точка p принадлежит многообразию, нас интересуют только элементы m, факторизация по m² соответствует выбрасыванию членов больших степеней. Поскольку мы начинали с кольца функций, [math]\displaystyle{ \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 }[/math] соответствует «линейным функционалам» на касательном пространстве, то есть пространству, двойственному к касательному.

Касательное пространство [math]\displaystyle{ T_P(X) }[/math] и кокасательное пространство [math]\displaystyle{ T_P^*(X) }[/math] к схеме X в точке P — это (ко)касательное пространство локального кольца [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_{X,P} }[/math]. Благодаря функториальности Spec, естественное отображение факторизации [math]\displaystyle{ f:R\rightarrow R/I }[/math] индуцирует гомоморфизм [math]\displaystyle{ g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P} }[/math], где X=Spec(R), P — точка Y=Spec(R/I). Этот гомоморфизм часто используют для вложения [math]\displaystyle{ T_P(Y) }[/math] в [math]\displaystyle{ T_{f^{-1}P}(X) }[/math] (например, касательное пространство многообразия, вложенного в аффинное пространство, естественным образом вложено в касательное пространство аффинного пространства). Так как морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Таким образом, g индуцирует морфизм k касательных пространств, поскольку

[math]\displaystyle{ \mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I) }[/math]

[math]\displaystyle{ \cong \mathfrak{m}_{f^{-1}P}/(\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I) }[/math]

[math]\displaystyle{ \cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{Ker}(k). }[/math]

Так как k сюръективен (является гомоморфизмом факторизации), то двойственное линейное отображение [math]\displaystyle{ k^*:T_P(Y) \rarr T_{f^{-1}P}(X) }[/math] инъективно (является вложением).

Аналитический случай

Если V — подмногообразие n-мерного векторного пространства, определённое идеалом I (идеалом функций, равных нулю на этом многообразии), кольцу R соответствует кольцо F_n/I, где F_n — кольцо ростков гладких/аналитических/голоморфных функций на векторном пространстве, I — ростки функций из идеала. Тогда касательное пространство Зарисского в точке x — это

[math]\displaystyle{ \mathfrak m_x/(I+\mathfrak m_x^2), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathfrak m_x }[/math] — идеал функций соответствующего типа, равных нулю в точке x.

В примере с алгебраической кривой, [math]\displaystyle{ I=(f) }[/math], а [math]\displaystyle{ (I+\mathfrak m_x^2)=(ax+by+\mathfrak m_x^2). }[/math]

Свойства

Если R — нётерово локальное кольцо, размерность касательного пространства не меньше размерности R:

[math]\displaystyle{ \mathrm{dim}\; \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \geqslant \mathrm{dim}\; R. }[/math]

R называется регулярным кольцом, если выполняется равенство. Если локальное кольцо многообразия V в точке x регулярно, говорят, что x — регулярная точка многообразия. В противном случае x называется особой точкой.

Существует интерпретация касательного пространства при помощи гомоморфизмов в кольцо дуальных чисел [math]\displaystyle{ k[t]/(t^2). }[/math] На языке схем, морфизмы из Spec k[t]/t² в схему X над k соответствует выбору рациональной точки x ∈ X(k) (точки с координатами из поля k) и элемента касательного пространства в точке x. Таким образом, эти морфизмы имеет смысл называть касательными векторами.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

Ссылки

• Zariski tangent space. V.I. Danilov, Encyclopedia of Mathematics.