Риманово многообразие

Риманово многообразие, или риманово пространство (M, g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиент функции и дивергенции векторных полей.

Риманова метрика g — это положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор; точнее — это гладкое ковариантное симметричное положительно определенное тензорное поле валентности (0,2).

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор

Касательное расслоение гладкого многообразия M ставит в соответствие каждой точке M векторное пространство, называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая α(t): [0, 1] → M имеет касательный вектор α′(t₀) в касательном пространстве TM(t₀) в любой точке t₀ ∈ (0, 1), и каждый такой вектор имеет длину ‖α′(t₀)‖, где ‖·‖ обозначает норму, индуцированную скалярным произведением на TM(t₀). Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой α:

[math]\displaystyle{ L(\alpha) = \int_0^1{\|\alpha'(t)\|\, \mathrm{d}t}. }[/math]

Гладкость α(t) для t в [0, 1] гарантирует, что интеграл L(α) существует и длина кривой определена.

Во многих случаях для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие Rⁿ имеет индуцированную метрику g: скалярное произведение на каждом касательном пространстве — это просто скалярное произведение на Rⁿ. Имеет место и обратный факт: теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, что любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в Rⁿ достаточной большой размерности n.

Измерение длин и углов при помощи метрики

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] параметра [math]\displaystyle{ t }[/math], меняющегося от [math]\displaystyle{ a }[/math] до [math]\displaystyle{ b }[/math]), равна:

[math]\displaystyle{ L = \int\limits_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}\,dt = \int\limits_{x(a)}^{x(b)} \sqrt{ g_{ij}\,dx^i\,dx^j}. }[/math]

Угол [math]\displaystyle{ \theta \ }[/math] между двумя векторами, [math]\displaystyle{ U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ }[/math] и [math]\displaystyle{ V=v^j{\partial\over \partial x^j} \ }[/math] (в искривлённом пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

[math]\displaystyle{ \cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}{\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}. }[/math]

Обобщения

• Псевдориманово многообразие
• Субриманово многообразие
• Финслерово многообразие

Литература

• Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия