Компактный оператор

Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] — банаховы пространства. Линейный оператор [math]\displaystyle{ T: X \to Y }[/math] называется компактным, если любое ограниченное подмножество в [math]\displaystyle{ X }[/math] он переводит в предкомпактное подмножество в [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Существует эквивалентное определение, использующее понятие слабой топологии: линейный оператор [math]\displaystyle{ T: X \to Y }[/math] называется компактным, если его сужение на единичный шар в [math]\displaystyle{ X }[/math] является непрерывным отображением относительно слабой топологии в [math]\displaystyle{ X }[/math] и нормовой топологии в [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Очевидно, свойство компактности сильнее, чем ограниченность.

Множество компактных операторов [math]\displaystyle{ T: X \to Y }[/math] обозначается через [math]\displaystyle{ \mathcal{K}(X,Y) }[/math]. Оно является подмножеством в пространстве ограниченных операторов [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(X,Y) }[/math], действующих из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Простейшие свойства

• Всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным, однако не всякий ограниченный оператор является вполне непрерывным.
• Линейная комбинация вполне непрерывных операторов [math]\displaystyle{ A, B }[/math] вида [math]\displaystyle{ \alpha A + \beta B }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] — числа, также является вполне непрерывным оператором.
• Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство в себя, и [math]\displaystyle{ B }[/math] — произвольный линейный ограниченный оператор, определённый на этом же пространстве. Тогда [math]\displaystyle{ AB }[/math] и [math]\displaystyle{ BA }[/math] являются вполне непрерывными операторами.
• Если последовательность вполне непрерывных операторов [math]\displaystyle{ \left \{ A_{n} \right \} }[/math], отображающих пространство [math]\displaystyle{ E_{x} }[/math] в полное пространство [math]\displaystyle{ E_{y} }[/math], равномерно сходится к оператору [math]\displaystyle{ A }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ \left \| A - A_{n} \right \| \to 0 }[/math]), то [math]\displaystyle{ A }[/math] также вполне непрерывный оператор.
• Если оператор компактен, то сопряженный к нему тоже компактен.

Примеры

Наиболее содержательные примеры компактных операторов доставляет теория интегральных уравнений:

• Возьмём произвольную функцию [math]\displaystyle{ g \in L_2([0,1] \times [0,1]) }[/math]. Тогда определённый следующим образом интегральный оператор [math]\displaystyle{ T: L_2(0,1) \to L_2(0,1) }[/math] будет компактным:

[math]\displaystyle{ (Tf)(t) = \int\limits_0^1 g(s, t)f(s)\,ds }[/math]

• Пусть функция g на [math]\displaystyle{ [0,1] \times [0,1] }[/math] имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых. Тогда оператор [math]\displaystyle{ T: C(0,1) \to C(0,1) }[/math], определённый точно так же, как и оператор в предыдущем примере, является компактным уже в пространстве непрерывных функций.

Диагональный оператор [math]\displaystyle{ T_\lambda: l_2 \to l_2 }[/math], соответствующий последовательности [math]\displaystyle{ \lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots) }[/math] и действующий по правилу [math]\displaystyle{ x = (x_1, x_2, \dots ) \to (\lambda_1 x_1, \lambda_2 x_2, \dots) }[/math] ограничен тогда и только тогда, когда последовательность [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ограничена, а компактность равносильна сходимости последовательности [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] к нулю.

Обратимый оператор [math]\displaystyle{ A: X \to Y }[/math] компактен тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] конечномерны.

Конечномерные операторы

Очевидно, что любой линейный ограниченный оператор с конечномерным образом является компактным (такие операторы называются конечномерными). Для компактного оператора [math]\displaystyle{ T: X \to Y }[/math], где [math]\displaystyle{ Y }[/math] — гильбертово пространство, всегда существует последовательность конечномерных операторов, сходящаяся к [math]\displaystyle{ T }[/math] по норме. Однако, это неверно для произвольного пространства [math]\displaystyle{ Y }[/math]. Говорят, что банахово пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] обладает свойством аппроксимации, если для любого банахова пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] любой компактный оператор [math]\displaystyle{ T: X \to Y }[/math] может быть приближен конечномерными операторами. Существуют сепарабельные банаховы пространства, не обладающие свойством аппроксимации.

Свойства пространства компактных операторов

Из базовых свойств компактных операторов сразу следует, что [math]\displaystyle{ \mathcal{K}(X,Y) }[/math] является подпространством в [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(X,Y) }[/math]. Однако, можно показать, что это подпространство замкнуто. В случае, когда [math]\displaystyle{ X=Y }[/math], пространство операторов приобретает структуру алгебры (умножение задается композицией операторов). Тогда [math]\displaystyle{ \mathcal{K}(X,X) }[/math] является замкнутым двусторонним идеалом в [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(X) }[/math].

Свойство аппроксимации для пространства [math]\displaystyle{ Y }[/math] можно сформулировать таким образом: для любого банахова пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] пространство [math]\displaystyle{ \mathcal{K}(X,Y) }[/math] является замыканием пространства конечномерных операторов из [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Спектральные свойства компактных операторов

Пусть [math]\displaystyle{ T: X \to X }[/math] — компактный оператор. Тогда оператор [math]\displaystyle{ K = I - T }[/math] является нетеровым оператором индекса 0 (фредгольмовым). В частности, имеем альтернативу Фредгольма для [math]\displaystyle{ K }[/math]: он сюръективен тогда и только тогда когда инъективен (альтернатива в том, что либо ядро не пусто, либо образ совпадает со всем пространством). Как следствие сразу получаем, что весь ненулевой спектр компактного оператора является дискретным (остаточный и непрерывный спектры могут содержать только ноль). Ноль же всегда принадлежит спектру оператора [math]\displaystyle{ T }[/math] в бесконечномерном случае (иначе обратимый оператор был бы компактен) и может не быть собственным значением для оператора [math]\displaystyle{ T }[/math].

В случае, когда оператор [math]\displaystyle{ T }[/math] является самосопряженным (здесь [math]\displaystyle{ X }[/math] гильбертово), дополнительно имеем теорему Гильберта-Шмидта: существуют конечная или счетная ортонормированная система векторов [math]\displaystyle{ e_1, e_2, \dots }[/math] и последовательность ненулевых вещественных чисел (той же мощности, что и система векторов) [math]\displaystyle{ \lambda_1, \lambda_2, \dots }[/math], такие, что оператор [math]\displaystyle{ T }[/math] действует по правилу [math]\displaystyle{ T(x) = \sum\limits_n \lambda_n (x, e_n)e_n }[/math]. Эта теорема является естественным обобщением аналогичной теоремы для самосопряженных операторов в конечномерном пространстве. Тем самым, класс компактных операторов, с точки зрения спектральных свойств, похож на операторы в конечномерном пространстве.

Классы компактных операторов

Пусть [math]\displaystyle{ T: X \to Y }[/math] — компактный оператор, [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] — гильбертовы пространства. Тогда существуют пара конечных или счетных ортонормированных последовательностей одинаковой мощности [math]\displaystyle{ e_1, e_2, \dots }[/math] в [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ f_1, f_2, \dots }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math] и невозрастающая последовательность положительных вещественных чисел (той же мощности) [math]\displaystyle{ s_1, s_2, \dots }[/math], сходящаяся к нулю, если она бесконечна, такие что оператор [math]\displaystyle{ T }[/math] действует по правилу [math]\displaystyle{ T(x) = \sum\limits_n s_n(x, e_n)f_n }[/math]. Данный факт известен под названием теорема Шмидта (по формулировке она очень похожа на теорему Гильберта-Шмидта, и, в самом деле, теорема Шмидта, с небольшими изменениями для самосопряженного оператора служит доказательством для теоремы Гильберта-Шмидта). Нетрудно показать, что числа [math]\displaystyle{ s_1, s_2, \dots }[/math], которые называются числами Шмидта, однозначно определяются оператором.

Если для оператора [math]\displaystyle{ T }[/math] сходится [math]\displaystyle{ \sum\limits_n s_n^2 }[/math], то оператор называется оператором Гильберта-Шмидта. Норма вводится соотношением [math]\displaystyle{ \|T\| = \sqrt{\sum\limits_n^{\ } s_n^2} }[/math], причем она порождается скалярным произведением. Если же сходится [math]\displaystyle{ \sum\limits_n s_n }[/math], то оператор называется ядерным или оператором со следом. На пространстве ядерных операторов норма вводится соотношением [math]\displaystyle{ \|T\| = \sum\limits_n s_n }[/math].

Литература

• А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвертое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. — 35 000 экз.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 304 с.

См. также

• Ядерный оператор
• Оператор Шмидта
• Фредгольмов оператор
• Непрерывный оператор