Фредгольмов оператор

Фредгольмов оператор, или нётеров оператор, — это линейный оператор между векторными пространствами (обычно бесконечной размерности), у которого ядро и коядро конечномерны. Иначе говоря, пусть X, Y — векторные пространства. Оператор [math]\displaystyle{ T: X \to Y }[/math] называют фредгольмовым, если

• [math]\displaystyle{ \mathrm{dim} \, \ker T \lt \infty }[/math],
• [math]\displaystyle{ \mathrm{dim}\;\mathrm{coker}\,T \lt \infty }[/math].

Оператор между конечномерными пространствами всегда фредгольмов.

Обычно понятие рассматривают для банаховых пространств и оператор предполагают ограниченным.

Следует также отметить, что в силу своего определения, фредгольмов оператор всегда нормально разрешим.

Индекс фредгольмова оператора

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

[math]\displaystyle{ \mathrm{ind} \, T = \mathrm{dim} \,\ker T - \mathrm{dim} \; \mathrm{coker}\,T }[/math]

Более того, для каждого конкретно заданного [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math] существует фредгольмов оператор с индексом n.

Преобразования фредгольмовых операторов

• Сопряженный к фредгольмову оператору тоже фредгольмов: [math]\displaystyle{ T\in\mathcal{N}(X,\;Y) \Leftrightarrow T^{'}\in\mathcal{N}(Y^{'},\;X^{'}) }[/math]. Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов: [math]\displaystyle{ \mathrm{ind} \, T^{'} = -\mathrm{ind} \, T }[/math]
• Композиция фредгольмовых операторов — фредгольмов оператор, а индекс его есть [math]\displaystyle{ \mathrm{ind} \, TS = \mathrm{ind} \, T + \mathrm{ind} \, S }[/math] (теорема Аткинсона)
• Компактное возмущение сохраняет фредгольмовость и индекс оператора: [math]\displaystyle{ T\in\mathcal{N}(X,\;Y),\;S\in\mathcal{K}(X,\;Y)\Rightarrow T+S\in\mathcal{N}(X,\;Y) , \; \mathrm{ind} \, (T+S) = \mathrm{ind} \, T }[/math]
• Фредгольмовость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть [math]\displaystyle{ \forall T\in\mathcal{N}(X,\;Y) \; \exists \varepsilon : \, \forall S\in\mathcal{B}(X,\;Y), \|S\| \leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in\mathcal{N}(X,\;Y) , \; \mathrm{ind} \, (T+S) = \mathrm{ind} \, T }[/math]. Иначе говоря, множество [math]\displaystyle{ \mathcal{N}(X,\;Y) }[/math] является открытым в множестве [math]\displaystyle{ \mathcal{B}(X,\;Y) }[/math] ограниченных операторов.

Теорема Фредгольма

[math]\displaystyle{ K\in\mathcal{K}(X,\;X) \Rightarrow (\mathrm{I_X}-K) }[/math] — фредгольмов (здесь [math]\displaystyle{ \mathrm{I_X} }[/math] — тождественный оператор на X).

Критерии фредгольмовость

• Критерий Нётера: T фредгольмов если, тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор.
• Критерий Никольского: T фредгольмов тогда, и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: [math]\displaystyle{ \mathcal{N}(X,\;Y) = \mathrm{Inv}(X,\;Y)\,+\,\mathcal{K}(X,\;Y) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathrm{Inv}(X,\;Y) }[/math] — множество обратимых линейных операторов.

Литература

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..