Эффективная масса
Эффекти́вная ма́сса — величина, имеющая размерность массы и применяемая для удобного описания движения частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона [math]\displaystyle{ m_0 }[/math] (9,11×10−31 кг). Эффективная масса электрона в кристалле (электрон проводимости), вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме и может быть как положительной, так и отрицательной[1].
Понятие эффективной массы
Изотропный вариант
Если закон дисперсии [math]\displaystyle{ E = E(\vec{k}) }[/math] электронов в конкретном кристаллическом веществе таков (или с приемлемой точностью может считаться таким), что энергия [math]\displaystyle{ E }[/math] зависит только от модуля волнового вектора [math]\displaystyle{ k }[/math], то эффективной массой электрона, по определению, является величина[2]
- [math]\displaystyle{ m^{*} = \hbar^2 / \left[ {{d^2 E} \over {d k^2}} \right] }[/math],
где [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — постоянная Планка-Дирака.
Иногда в целях радикального упрощения этим приближением ограничиваются, как если бы изотропная ситуация была единственной возможной.
Физический смысл
Скорость движения электрона в кристалле равна групповой скорости электронных волн и определяется как
- [math]\displaystyle{ v_{g}=\frac{d \omega}{dk} = \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk} }[/math].
Здесь [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — частота. Дифференцируя [math]\displaystyle{ v_{g} }[/math] по времени, определим ускорение электрона:
- [math]\displaystyle{ a = \frac{dv_{g}}{dt} = \frac{1}{\hbar} \frac{d^{2}E}{dk^{2}}\frac{dk}{dt} }[/math].
Сила, действующая на электрон в кристалле, составляет
- [math]\displaystyle{ F = \frac{dp}{dt} = \hbar\frac{dk}{dt} }[/math],
где [math]\displaystyle{ p }[/math] — импульс. Из двух последних выражений получается
- [math]\displaystyle{ a = \frac{1}{\hbar^{2}} \frac{d^{2}E}{dk^{2}}F = \frac{F}{m^{*}} }[/math],
откуда и виден смысл величины [math]\displaystyle{ m^{*} }[/math] как некоей «массы».
Типичное поведение
Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен и, таким образом, эффективная масса является постоянной и равной массе покоя электрона [math]\displaystyle{ m_0 }[/math].
В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. Тем не менее, кривая закона дисперсии [math]\displaystyle{ E(\vec{k}) }[/math] вблизи своих экстремумов часто неплохо аппроксимируется параболой — и тогда эффективная масса [math]\displaystyle{ m^* }[/math] также будет константой, хотя и отличной от [math]\displaystyle{ m_0 }[/math]. При этом [math]\displaystyle{ m^* }[/math] может оказаться и положительной (вблизи дна зоны проводимости), и отрицательной (вблизи потолка валентной зоны).
Далеко от экстремумов эффективная масса, как правило, сильно зависит от энергии [math]\displaystyle{ E }[/math] (формулировка «зависит от энергии» уместна только для изотропного случая), и тогда оперирование ею перестаёт приносить какие-либо удобства.
Анизотропия массы
В общем случае эффективная масса зависит от направления в кристалле и является тензором. Принято говорить о тензоре обратной эффективной массы, его компоненты находятся из закона дисперсии[3][4] [math]\displaystyle{ E=E(\vec{k}) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{m^*}\right)_{i,j}=\frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2 E}{\partial k_i\partial k_j} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \vec{k} }[/math] — волновой вектор с проекциями [math]\displaystyle{ k_x }[/math], [math]\displaystyle{ k_y }[/math], [math]\displaystyle{ k_z }[/math] на оси декартовой системы координат. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется как квазичастица, параметры движения которой зависят от направления относительно кристаллографических осей кристалла. При этом значения [math]\displaystyle{ (1/m^*)_{i,j} }[/math] зависят не от энергии, а от состояния, задаваемого вектором [math]\displaystyle{ \vec{k} }[/math].
Есть и другие подходы для вычисления эффективной массы электрона в кристалле[5].
Как и в изотропном приближении, использование тензора обратной эффективной массы в основном ограничено областями вблизи экстремумов функции [math]\displaystyle{ E(\vec{k}) }[/math]. Вне этих областей — как, например, в случае анализа поведения популяции горячих электронов — рассматриваются непосредственно зависимости [math]\displaystyle{ E(\vec{k}) }[/math], которые табулируются.
Величина для некоторых полупроводников
Характерные значения эффективной массы составляют от долей до единиц [math]\displaystyle{ m_0 }[/math], чаще всего около [math]\displaystyle{ 0.5m_0 }[/math].
В таблице указана[6][7] эффективная масса электронов ([math]\displaystyle{ m_e^* }[/math]) и дырок ([math]\displaystyle{ m_h^* }[/math]) для важнейших полупроводников — простых веществ IV группы и бинарных соединений AIIIBV и AIIBVI. Все значения представлены в единицах массы свободного электрона [math]\displaystyle{ m_0 }[/math].
| Материал | [math]\displaystyle{ m_e^* }[/math] | [math]\displaystyle{ m_h^* }[/math] |
|---|---|---|
| Группа IV | ||
| Si (4,2 K) | 1,08 | 0,56 |
| Ge | 0,55 | 0,37 |
| AIIIBV | ||
| GaAs | 0,067 | 0,45 |
| InSb | 0,013 | 0,6 |
| AIIBVI | ||
| ZnSe | 0,17 | 1,44 |
| ZnO | 0,19 | 1,44 |
На этом сайте приводится температурная зависимость эффективной массы для кремния.
Экспериментальное определение
Традиционно эффективные массы носителей измерялись методом циклотронного резонанса, в котором измеряется поглощение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от индукции магнитного поля [math]\displaystyle{ B }[/math]. Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте [math]\displaystyle{ \omega_c = \frac {eB} {m_c} , }[/math] в спектре наблюдается острый пик ([math]\displaystyle{ m_c }[/math] - циклотронная масса). В случае квадратичного изотропного закона дисперсии носителей заряда [math]\displaystyle{ E(\overrightarrow{k})=\hbar^2k^2/2m^* }[/math] эффективная и циклотронная массы совпадают, [math]\displaystyle{ m_c=m^* }[/math]. В последние годы эффективные массы обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием таких методов, как фотоэмиссия с угловым разрешением (ARPES), или более прямым методом, основанным на эффекте де Гааза — ван Альфена.
Эффективные массы могут также быть оценены при использовании коэффициента γ из линейного слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме [math]\displaystyle{ c_v. }[/math] Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми.
Значимость эффективной массы
Как показывает таблица, полупроводниковые соединения AIIIBV, такие, как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой простой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе: [math]\displaystyle{ \vec{v} = \begin{Vmatrix}\mu\end{Vmatrix} \cdot \vec{E}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \begin{Vmatrix}\mu\end{Vmatrix} = \frac{e \tau}{\begin{Vmatrix}m^*\end{Vmatrix}} }[/math], [math]\displaystyle{ \tau }[/math] — время релаксации по импульсам и [math]\displaystyle{ e }[/math] — заряд электрона. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы AIIIBV используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания.
В случае переноса электронов и дырок через тонкий полупроводниковый или диэлектрический слой посредством туннельного эффекта эффективная масса в этом слое влияет на коэффициент прохождения (уменьшение массы влечёт увеличение коэффициента прохождения) и, следовательно, на ток.
Эффективная масса плотности состояний
Поведение плотности состояний электронов и дырок вблизи краёв зон аппроксимируется формулами
- [math]\displaystyle{ \rho_e(E) = 4\pi\left(\frac{2m_{dc}}{h^2}\right)^{3/2}\sqrt{E-E_c},\qquad \rho_h(E) = 4\pi\left(\frac{2m_{dv}}{h^2}\right)^{3/2}\sqrt{E_v-E} }[/math],
где [math]\displaystyle{ E_v }[/math] и [math]\displaystyle{ E_v }[/math] — энергии краёв валентной зоны и зоны проводимости, соответственно, [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка. Входящие сюда величины [math]\displaystyle{ m_{dv} }[/math], [math]\displaystyle{ m_{dc} }[/math] носят название эффективных масс плотности состояний. Для изотропного параболического закона дисперсии они совпадают с эффективными массами [math]\displaystyle{ m^* }[/math] (раздельно для электронов и дырок), а в более сложных анизотропных случаях находятся численно, с усреднением по направлениям.
Обобщения
Понятие эффективной массы в физике твёрдого тела используется не только применительно к электронам и дыркам[3]. Оно обобщается на другие квазичастицы (типы возбуждений), такие как фононы, фотоны или экситоны, с теми же формулами для расчёта (только подставляются законы дисперсии, соответственно, для фононов и так далее). Тем не менее, основным применением термина всё же является именно кинетика электронов и дырок в кристаллах.
Ссылки
- NSM archive
- Pastori Parravicini, G. Electronic States and Optical Transitions in Solids (англ.). — Pergamon Press[англ.], 1975. Книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением между теорией и экспериментом.
Примечания
- ↑ Епифанов, 1971, с. 137.
- ↑ Епифанов, 1971, с. 136.
- ↑ 3,0 3,1 Физический энциклопедический словарь, статья «Эффективная масса» — М.: Советская энциклопедия. под ред. А. М. Прохорова. 1983.
- ↑ Askerov, B. M.[англ.]. Electron Transport Phenomena in Semiconductors, 5-е изд (англ.). — Singapore: World Scientific, 1994. — P. 416.
- ↑ Пекар С. И. Электроны проводимости в кристаллах // Проблемы теоретической физики. Сборник, посвящённый Николаю Николаевичу Боголюбову в связи с его шестидесятилетием. — М., Наука, 1969. — Тираж 4000 экз. — c. 349—355
- ↑ Sze S.M. Physics of Semiconductor Devices (англ.). — John Wiley & Sons, 1981. — (Wiley-Interscience publication). — ISBN 9780471056614.
- ↑ Harrison W.A. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond (англ.). — Dover Publications, 1989. — (Dover Books on Physics). — ISBN 9780486660219.
Литература
- Епифанов Г. И. Физические основы микроэлектроники. — М.: Советское радио, 1971. — 376 с.