Целочисленная матрица
В математике целочисленной матрицей называется матрица, элементы которой являются целыми числами. Целочисленными являются, например, бинарные матрицы, нулевая матрица, матрица единиц, единичная матрица и матрица смежности. Целочисленные матрицы часто применяются в комбинаторике и, в частности, в теории графов.
Примеры
Матрицы [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cccr} 5 & 2 & 6 & 0\\ 4 & 7 & 3 & 8\\ 5 & 9 & 0 & 4\\ 3 & 1 & 0 & -3\\ 9 & 0 & 2 & 1\end{array}\right) }[/math] и [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0\\ 0 & 9 & 2\\ 1 & 7 & 3\end{array}\right) }[/math] являются целочисленными.
Свойства
- Определитель целочисленной матрицы является целым числом.
- Матрица, обратная целочисленной матрице [math]\displaystyle{ M }[/math], является целочисленной тогда и только тогда, когда определитель [math]\displaystyle{ M }[/math] равен [math]\displaystyle{ 1 }[/math] или [math]\displaystyle{ -1 }[/math]. Такие матрицы называются унимодулярными.
- Целочисленные матрицы с определителем, равным [math]\displaystyle{ 1 }[/math], образуют специальную линейную группу [math]\displaystyle{ \mathrm{SL}_n(\mathbf{Z}) }[/math], которая используется в арифметике и геометрии. При [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] она тесно связана с модулярной группой.
- Характеристический многочлен целочисленной матрицы имеет целочисленные коэффициенты.
- В частности, собственные числа матрицы являются целыми алгебраическими числами.