Фуксова модель

Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.

Более точное определение

По теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, параболической^[англ.], либо гиперболической. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность [math]\displaystyle{ R }[/math], которая не изоморфна либо римановой сфере (в эллиптическом случае), либо факторповерхности комплексной поверхности по дискретной подгруппе (в параболическом случае), должна быть факторповерхностью гиперболической плоскости [math]\displaystyle{ \mathbb H }[/math] по подгруппе [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math], действующей вполне разрывно и свободно.

В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости для гиперболической плоскости группа биголоморфных преобразований^[англ.] является группой [math]\displaystyle{ \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) }[/math], действующей гомографией, а теорема об униформизации означает, что существует дискретная подгруппа без кручения [math]\displaystyle{ \Gamma \subset \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) }[/math], такая, что риманова поверхность [math]\displaystyle{ \Gamma \backslash \mathbb H }[/math] изоморфна [math]\displaystyle{ R }[/math]. Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм [math]\displaystyle{ R \cong \Gamma \backslash \mathbb H }[/math] называется фуксовой моделью для [math]\displaystyle{ R }[/math].

Фуксовы модели и пространство Тейхмюллера

Пусть [math]\displaystyle{ R }[/math] будет замкнутой гиперболической поверхностью и пусть [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] будет фуксовой группой, такой, что [math]\displaystyle{ \Gamma \backslash \mathbb H }[/math] является фуксовой моделью для [math]\displaystyle{ R }[/math]. Пусть

[math]\displaystyle{ A(\Gamma)=\{ \rho \colon \Gamma \to \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) \} }[/math].

Здесь [math]\displaystyle{ A(\Gamma) }[/math] — множество всех [math]\displaystyle{ \rho }[/math] эффективных и дискретных представлений с топологией, порождённой точечной сходимостью (иногда называемой «алгебраической сходимостью»)^[1]. В этом частном случае топология может быть наиболее просто определена следующим образом: группа [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] является конечнопорождённой^[англ.]^*, так как она изоморфна фундаментальной группе [math]\displaystyle{ R }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ g_1, \ldots, g_r }[/math] будет порождающим множеством, тогда любое [math]\displaystyle{ \rho \in A(\Gamma) }[/math] определяется элементами [math]\displaystyle{ \rho(g_1), \ldots, \rho(g_r) }[/math] и мы можем отождествить [math]\displaystyle{ A(G) }[/math] с подмножеством [math]\displaystyle{ \mathrm{PSL}_2(\mathbb R)^r }[/math] отображением [math]\displaystyle{ \rho \mapsto (\rho(g_1), \ldots, \rho(g_r)) }[/math]. Тем самым мы задаём топологию подпространства.

Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не связан напрямую с теоремой Дена — Нильсена) тогда утверждает следующее^[2]:

Для любого представления [math]\displaystyle{ \rho\in A(G) }[/math] существует автогомеоморфизм (фактически, квазиконформное отображение^[англ.]) [math]\displaystyle{ h }[/math] верхней полуплоскости [math]\displaystyle{ \mathbb H }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ h \circ \gamma \circ h^{-1} = \rho(\gamma) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ \gamma \in G }[/math].

Доказательство очень просто — выберем гомеоморфизм [math]\displaystyle{ R \to \rho(\Gamma) \backslash \mathbb H }[/math] и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма даёт квазиконформное отображение, поскольку [math]\displaystyle{ R }[/math] компактно.

Это можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для пространства Тейхмюллера [math]\displaystyle{ R }[/math]^[1] — множества дискретных эффективных представлений фундаментальной группы [math]\displaystyle{ \pi_1(R) }[/math]^[3] в классы смежности [math]\displaystyle{ \mathrm{PSL}_2(\mathbb R) }[/math] и множества помеченных римановых поверхностей [math]\displaystyle{ (X, f) }[/math], где [math]\displaystyle{ f\colon R \to X }[/math] является квазиконформным гомеоморфизмом естественного отношения эквивлентности.

См. также

Модель Кляйна^[англ.], аналогичное построение для 3D-многообразий
Фундаментальный многоугольник^[англ.]

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12.
↑ Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12, Theorem 0.17.
↑ Множество гомотопических классов петель с произведением петель из точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] называется фундаментальной группой с отмеченной точкой [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки и для таких пространств можно писать [math]\displaystyle{ \pi_1(X) }[/math] вместо [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math]. См. Фундаментальная группа

Литература

Matsuzaki K., Taniguchi M. Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. — Oxford university press, 1998. — ISBN 0-19-850062-9.

[_d7e36ce67d2dbf14-1] 1,0 ^1,1 Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12.

[_805190cd499ea9e6-2] Matsuzaki, Taniguchi, 1998, с. 12, Theorem 0.17.

[3] Множество гомотопических классов петель с произведением петель из точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] называется фундаментальной группой с отмеченной точкой [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки и для таких пространств можно писать [math]\displaystyle{ \pi_1(X) }[/math] вместо [math]\displaystyle{ \pi_1(X,x_0) }[/math]. См. Фундаментальная группа

[1]

[2]

[3]