Скобка Пуассона

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Скобки Ли»)

Ско́бки Пуассо́на[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на[2] и скобки Ли) — оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался С. Пуассоном в 1809 году[3], затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.

Скобки Пуассона векторных полей

Пусть [math]\displaystyle{ v }[/math] и [math]\displaystyle{ u }[/math] — векторные поля на гладком многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ L_v }[/math] — оператор производной Ли по направлению векторного поля [math]\displaystyle{ v }[/math]. Коммутатор операторов [math]\displaystyle{ L_v }[/math] и [math]\displaystyle{ L_u }[/math] есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле [math]\displaystyle{ [v,u] }[/math], для которого[4][Notes 1]

[math]\displaystyle{ L_v L_u - L_u L_v \equiv [L_v, L_u] = L_{[v,u]} }[/math]

Компоненты векторного поля [math]\displaystyle{ [v,u] }[/math] в произвольной системе координат выражаются через компоненты [math]\displaystyle{ v }[/math] и [math]\displaystyle{ u }[/math] по формуле

[math]\displaystyle{ [v,u]_{i}=\sum_{j}v_{j}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-u_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}. }[/math]

Таким образом, поле [math]\displaystyle{ [v,u] }[/math] не зависит от системы координат [math]\displaystyle{ (x_{1},...,x_{n}), }[/math] которая используется в формуле.

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

[math]\displaystyle{ [v,u] = L_v u - L_u v }[/math]

В голономном базисе оно принимает вид

[math]\displaystyle{ [v, u]^\mu = v^\alpha \partial_\alpha u^\mu - u^\alpha \partial_\alpha v^\mu }[/math]


Пример

Пусть [math]\displaystyle{ G=\mathrm{Diff}(M) }[/math] есть группа диффеоморфизмов многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \mathrm{ad}_{v}w=-\{v,w\}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \{v,w\} }[/math] — скобка Пуассона, [math]\displaystyle{ \mathrm{ad} }[/math] — дифференциал [math]\displaystyle{ \mathrm{Ad} }[/math] в единице группы. Символ [math]\displaystyle{ \mathrm{ad}_{v} }[/math] обозначает образ элемента [math]\displaystyle{ v }[/math].

Пусть [math]\displaystyle{ t\mapsto g(t) }[/math] является кривой, которая выходит из [math]\displaystyle{ k }[/math] с начальной скоростью [math]\displaystyle{ \dot{g}=m, }[/math] и пусть [math]\displaystyle{ s\mapsto h(s) }[/math] является такой же кривой с начальной скоростью [math]\displaystyle{ h'=\omega. }[/math] Тогда

[math]\displaystyle{ g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega+o(s))(k+tm+o(t))^{-1}=k+s[\omega+t(m\omega-\omega m)+o(t)]+o(s) }[/math]

при [math]\displaystyle{ t,s\rightarrow 0. }[/math]

Вектор [math]\displaystyle{ m }[/math] в алгебре Ли [math]\displaystyle{ \mathfrak{g} }[/math] является скоростью в единице [math]\displaystyle{ k }[/math] пути [math]\displaystyle{ g(t) }[/math] на группе Ли [math]\displaystyle{ G }[/math]

Свойства

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

  • Линейность: [math]\displaystyle{ \Big[ u, cv \Big] = c \Big[ u, v \Big] , \;\;\;\; c }[/math] — функция, не зависящая от [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math].
  • Антикоммутативность: [math]\displaystyle{ \Big[ u, v \Big] = - \Big[ v, u \Big] }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \Big[ w , u + v \Big] = \Big[ w, u \Big] + \Big[ w, v \Big] }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \Big[ u, u \Big] = 0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \cfrac {\partial \Big[ u, v \Big]} {\partial t} = \Big[ \cfrac {\partial u} {\partial t}, v \Big] + \Big[ u, \cfrac {\partial v} {\partial t} \Big] }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \Big[ w , c \Big] = 0 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \Big[ w, u \cdot v \Big] = \Big[ w, u \Big]v + u \Big[ w, v \Big] }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \Big[ w, u(v_1, \ldots , v_k) \Big] = \sum_{l = 1}^k \cfrac {\partial u} {\partial v_l}\Big[ w, v_l \Big] }[/math]
  • Тождество Якоби: [math]\displaystyle{ \Big[ \Big[ u, v \Big] , w \Big] + \Big[ \Big[ v, w \Big] , u \Big] + \Big[ \Big[ w , u \Big] , v \Big] = 0 . }[/math]
  • Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функций

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — симплектическое многообразие. Симплектическая структура [math]\displaystyle{ \omega }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math] позволяет ввести на множестве функций на [math]\displaystyle{ M }[/math] операцию скобок Пуассона, обозначаемую [math]\displaystyle{ \{ \cdot,\cdot \} }[/math] или [math]\displaystyle{ [\cdot,\cdot] }[/math] и задаваемую по правилу[1][Notes 2]

[math]\displaystyle{ [F,G] \ \stackrel{\text{def}}{=} \ L_{\mathbf F}G \equiv dG(\mathbf F) \equiv \omega(\mathbf F, \mathbf G) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] (также [math]\displaystyle{ I dF }[/math]) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона [math]\displaystyle{ F }[/math]. Оно определяется через дифференциал функции [math]\displaystyle{ F }[/math] и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой [math]\displaystyle{ \omega }[/math]. Именно, для любого векторного поля [math]\displaystyle{ \mathbf v }[/math]

[math]\displaystyle{ dF(\mathbf v) \ \stackrel{\text{def}}{=} \ \omega (\mathbf v, \mathbf F) }[/math]

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности [math]\displaystyle{ \omega }[/math] скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

[math]\displaystyle{ [F, G] = - [G, F] }[/math]
[math]\displaystyle{ [F, \lambda G + \mu H] = \lambda [F,G] + \mu [F,H] }[/math]

Выражение

[math]\displaystyle{ [F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] }[/math]

является линейной функцией вторых производных каждой из функций [math]\displaystyle{ F,G,H }[/math]. Однако

[math]\displaystyle{ \begin{array}{r} [F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] = \\ -L_{I d[G,H]} F + L_{\mathbf G} L_{\mathbf H} F - L_{\mathbf H} L_{\mathbf G} F = \\ \left( -L_{I d[G,H]} + L_{[\mathbf G, \mathbf H]} \right) F \end{array} }[/math]

Это выражение не содержит вторых производных [math]\displaystyle{ F }[/math]. Аналогично, оно не содержит вторых производных [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math], а потому

[math]\displaystyle{ [F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] =0 }[/math]

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на [math]\displaystyle{ M }[/math] структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции [math]\displaystyle{ H }[/math]

[math]\displaystyle{ L_{I d[F,G]}H = L_{[\mathbf F, \mathbf G]}H }[/math],

то есть

[math]\displaystyle{ I d[F,G] = [\mathbf F, \mathbf G] }[/math]

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

  • Скобки Пуассона невырождены:
[math]\displaystyle{ \forall F \not\equiv 0 \ \exists H: [F,H] \ne 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ [F, GH] = [F,G] H + G [F,H] }[/math]
  • Функция [math]\displaystyle{ F }[/math] является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом [math]\displaystyle{ H }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ [F,H] = 0 }[/math]
  • Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
  • Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона [math]\displaystyle{ H }[/math], заданной на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math]. Полная производная по времени от произвольной функции [math]\displaystyle{ f\colon M\times \R \to \R }[/math] запишется в виде
[math]\displaystyle{ \begin{array}{cl} \frac{d}{dt} f = & \frac{\partial f}{\partial t} + \dot q \frac{\partial f}{\partial q} + \dot p \frac{\partial f}{\partial p} = \\ & \frac{\partial f}{\partial t} + L_{\mathbf H}f = \\ & \frac{\partial }{\partial t} f + [H,f] \end{array} }[/math]
[math]\displaystyle{ [f,g] = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}} - \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} \right) }[/math][5]


Философское значение

Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.[6][7][8][9]

Примечания

  1. ↑ Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
  2. ↑ В некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно [math]\displaystyle{ [F,G] \ \stackrel{def}{=} \ dF(\mathbf G) = {-L_{\mathbf F}G.} }[/math] При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении [math]\displaystyle{ L_{I d[F,G]} = - L_{[\mathbf F, \mathbf G]} }[/math] и формуле для коммутатора полей.
  3. ↑ В [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].

Литература

  1. ↑ 1,0 1,1 Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
  2. ↑ Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  3. ↑ Poisson S. D. Memoire sur lavariation des constantes arbitraire dans les questions de Mechanique. - Journ. Politechn. 1809 t. VIII, p. 266-344
  4. ↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry Архивная копия от 6 июля 2020 на Wayback Machine, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
  5. ↑ Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 1. / доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский. — 5-е. — ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 176-179. — ISBN 5-9221-0055-6.
  6. ↑ Дирак П А М "Основные уравнения квантовой механики" Архивная копия от 2 мая 2021 на Wayback Machine УФН 122 611–621 (1977)
  7. ↑ Дирак П. А. М. Воспоминания о необычайной эпохе. — М., Наука, 1990. — с. 20-21
  8. ↑ Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М., Физматлит, 1960. — с. 125-130
  9. ↑ Разумовский О. С. Скобки Пуассона как метод // Яненко Н. Н., Преображенский Н. Г., Разумовский О. С. Методологические проблемы математической физики. — Новосибирск, Наука, 1986. — с. 246-263
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Скобка_Пуассона&oldid=5813591#Скобки_Пуассона_векторных_полей