Трёхмерная сфера

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются в <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

Уравнение

В декартовых координатах [math]\displaystyle{ (x_0, x_1, x_2, x_3) }[/math] трёхмерная сфера радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] может быть задана уравнением

[math]\displaystyle{ (x_0 - C_0)^2 + (x_1 - C_1)^2 + (x_2 - C_2)^2 + (x_3 - C_3)^2 = r^2. }[/math]

Рассматривая комплексное пространство [math]\displaystyle{ \Complex^2 }[/math] как вещественное [math]\displaystyle{ \R^4 }[/math], уравнение сферы может быть рассмотрено как

[math]\displaystyle{ S^3 = \left\{(z_1, z_2) \in \Complex^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}. }[/math]

Аналогично, в пространстве кватернионов [math]\displaystyle{ \mathbb{H}^1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ S^3 = \left\{q \in \mathbb{H} : \|q\| = 1\right\}. }[/math]

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

[math]\displaystyle{ x_0 = r \cos\psi, }[/math]

[math]\displaystyle{ x_1 = r \sin\psi \cos\theta, }[/math]

[math]\displaystyle{ x_2 = r \sin\psi \sin\theta \cos\phi, }[/math]

[math]\displaystyle{ x_3 = r \sin\psi \sin\theta \sin\phi. }[/math]

Свойства

Трёхмерная сфера [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на ней может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math].

Групповая структура

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] является группой Ли. Среди [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных сфер таким свойством обладают только [math]\displaystyle{ S^1 }[/math] и [math]\displaystyle{ S^3 }[/math].

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] с помощью матриц Паули:

[math]\displaystyle{ x_1+ x_2 i + x_3 j + x_4 k \mapsto \begin{pmatrix}\;\;\,x_1 + i x_2 & x_3 + i x_4 \\ -x_3 + i x_4 & x_1 - i x_2\end{pmatrix}. }[/math]

Поэтому группа [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] изоморфна матричной группе Ли [math]\displaystyle{ \mathrm{SU}(2) }[/math].

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа

Основная статья: Расслоение Хопфа

Если определить действие группы [math]\displaystyle{ U(1) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (z_1, z_2) \cdot \lambda = (z_1\lambda, z_2\lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb U(1), }[/math]

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере [math]\displaystyle{ S^2 }[/math]. При этом на сфере [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] возникает структура расслоения с базой [math]\displaystyle{ S^2 }[/math] и слоями, гомеоморфными [math]\displaystyle{ U(1) }[/math], то есть окружности [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]. Это расслоение называется расслоением Хопфа.

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

[math]\displaystyle{ p : (z_1, z_2) \mapsto (z_1:z_2). }[/math]

Точка (z₁, z₂) сферы [math]\displaystyle{ S^3 }[/math] отображается в точку [z₁: z₂] комплексной проективной прямой CP¹, которая диффеоморфна двумерной сфере [math]\displaystyle{ S^2 }[/math].

Гомотопические группы сферы

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа [math]\displaystyle{ \pi_1 (S^3) = \{0\} }[/math]. Также нулевой является группа [math]\displaystyle{ \pi_2 (S^3) = \{0\} }[/math].

См. также

• Гипотеза Пуанкаре

Литература

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М., 1989.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hypersphere (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.) Примечание: В данной статье используются альтернативные схемы именования для сфер, в которых сфера в N-мерном пространстве называется N-сферой.