Проективная прямая

Проективная прямая — одномерное проективное пространство. Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат [math]\displaystyle{ [x_1 : x_2] }[/math]. Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию аффинной прямой.

Примеры

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием. Это многообразие диффеоморфно окружности [math]\displaystyle{ \mathbb{R}P^1 \cong S^1 }[/math]. Комплексная проективная прямая [math]\displaystyle{ \mathbb{C}P^1 }[/math] — сфера Римана, — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере [math]\displaystyle{ S^2 }[/math]. Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, [math]\displaystyle{ \mathbb{H}P^1 \cong S^4 }[/math].

Действие групп на проективной прямой

Для групп [math]\displaystyle{ GL_2(k), SL_2(k) }[/math] и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы [math]\displaystyle{ PGL_2(k), PSL_2(k) }[/math], для которых это действие является точным. Для конечного поля [math]\displaystyle{ PSL_2(k) }[/math] изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы.

В алгебраической геометрии

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия. Полем функций проективной прямой [math]\displaystyle{ P^1(K) }[/math] является поле [math]\displaystyle{ K(X) }[/math] рациональных функций. Группой автоморфизмов поля [math]\displaystyle{ K(X) }[/math] является группа [math]\displaystyle{ PGL_2(K) }[/math]. Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
• Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — М.: Мир, 1981.