Функтор Hom

В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.

Определение

Пусть C — локально малая категория. Тогда для любых её объектов A, B определены следующие два функтора:

Hom(A,-) : C → Set	Hom(-,B) : C → Set
Это ковариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(A,-) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(A, X) Hom(A,-) отображает каждый морфизм f : X → Y в функцию Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y), задаваемую как [math]\displaystyle{ g \mapsto f\circ g }[/math] для каждого g в Hom(A, X).	Это контравариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(-,B) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom(X, B) Hom(-,B) отображает каждый морфизм h : X → Y в функцию Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B), задаваемую как [math]\displaystyle{ g \mapsto g\circ h }[/math] для каждого g в Hom(Y, B).

Функтор Hom(-,B) также называют функтором точек объекта B.

Также можно определить бифунктор Hom(-,-) из C × C в Set, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Или, эквивалентно, функтор

Hom(-,-) : C^op × C → Set

где C^op — двойственная категория к C.

Внутренний функтор Hom

В некоторых категориях можно определить функтор, который сходен с функтором Hom, но значения которого лежат в самой категории. Такой функтор называют внутренним функтором Hom и обозначают

[math]\displaystyle{ \text{hom}(-, -) : C^{op} \times C \to C }[/math]

Категории, допускающие внутренний Hom-функтор, называются замкнутыми категориями. Поскольку в замкнутой категории [math]\displaystyle{ A \cong hom(I, A) }[/math] (здесь I — единица замкнутой категории), это можно переписать как

[math]\displaystyle{ \text{Hom}(I, \text{hom}(-, -)) \simeq \text{Hom}(-, -) }[/math]

В случае замкнутой моноидальной категории это можно расширить до так называемого каррирования, то есть изоморфизма

[math]\displaystyle{ \text{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \text{Hom}(X\otimes Y, Z) }[/math]

где [math]\displaystyle{ Y \Rightarrow Z }[/math] — это [math]\displaystyle{ \text{hom}(Y, Z) }[/math].

Связанные определения

Функтор вида Hom(-, C) : C^op → Set является предпучком; соответственно, Hom(C, -) можно называть копредпучком.
Функтор F : C → Set, естественно изоморфный Hom(X, -) для некоторого объекта C называется представимым функтором.
Hom(-, -) : C^op × C → Set является профунктором, а именно, тождественным профунктором [math]\displaystyle{ \text{id}_C \colon C\nrightarrow C }[/math].
Внутренний функтор Hom сохраняет пределы; а именно, [math]\displaystyle{ \text{hom}(X,-):C \to C }[/math] переводит пределы в пределы, а [math]\displaystyle{ \text{hom}(-,X):C^\text{op} \to C }[/math] — пределы в копределы. В некотором смысле, это можно считать определением предела или копредела.
Функтор Hom — пример точного слева функтора.

См. также

Примечания

С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
Nathan Jacobson. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.