Функция Мангольдта
Функция Мангольдта — арифметическая функция [math]\displaystyle{ \Lambda (n) }[/math], равная [math]\displaystyle{ \ln p }[/math], если [math]\displaystyle{ n=p^m }[/math] — степень простого числа, в противном случае [math]\displaystyle{ \Lambda (n)=0 }[/math]. Кратко:
- [math]\displaystyle{ \Lambda(n)=\begin{cases}\ln p, \quad &n=p^m\\ 0,\ \quad &n\neq p^m\end{cases} }[/math]
Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.
Свойства
- Из определения следует, что
- [math]\displaystyle{ \sum\limits_{d\mid n}\Lambda(d)=\ln n }[/math]
- С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем
- [math]\displaystyle{ \Lambda(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\ln \frac{n}{d} = -\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\ln d }[/math]
Связь с распределением простых чисел
- Связь с дзета-функцией Римана :[math]\displaystyle{ \ln\zeta(s)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s\ln n}, \ \operatorname{Re}s \gt 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^s}, \ \operatorname{Re}s \gt 1 }[/math]
- Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:
- [math]\displaystyle{ \ln L(s,\chi)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{\chi(n)\Lambda(n)}{n^s\ln n}, \ \operatorname{Re}s \gt 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ -\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)\Lambda(n)}{n^s}, \ \operatorname{Re}s \gt 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n\leqslant x}\frac{\Lambda(n)}{n}\sim\ln x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n\leqslant x}\frac{\Lambda(n)}{n\ln n}=\ln\ln x+\gamma+O(e^{-c\sqrt{\ln x}}), }[/math] где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — постоянная Эйлера
- Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта
- [math]\displaystyle{ \psi(x)=\sum\limits_{n\leqslant x}\Lambda(n) }[/math]
- Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт
- [math]\displaystyle{ \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-s\int\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\psi(x)}{x^{1+s}}dx, \ \operatorname{Re}s \gt 1 }[/math]
Литература
- Прахар. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967
.
Проверить информацию.
