Теорема Фенхеля — Моро

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Функция, которая не полунепрерывна снизу. По теореме Фенхеля — Моро, эта функция не равна своей второй сопряжённой.

Теорема Фенхеля — Моро — необходимое и достаточное условие того, что вещественнозначная функция равна своему двоекратному выпуклому сопряжению. При этом для любой функции верно, что [math]\displaystyle{ f^{**} \leqslant f }[/math][1][2].

Утверждение можно рассматривать как обобщение теоремы о биполяре[англ.][1]. Она используется в теории двойственности для доказательства сильной двойственности (через функцию возмущений[англ.]).

Теорема доказана для конечномерного случая Вернером Фенхелем в 1949 году и для бесконечномерного — Жан-Жаком Моро в 1960 году[3].

Утверждение теоремы

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\tau) }[/math] будет хаусдорфовым локально выпуклым пространством. Для любой функции со значениями на расширенной числовой прямой [math]\displaystyle{ f: X \to \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ f = f^{**} }[/math], где [math]\displaystyle{ f^{*} }[/math] — выпуклое сопряжение к [math]\displaystyle{ f }[/math], тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

  1. [math]\displaystyle{ f }[/math] является собственной выпуклой функцией[англ.] полунепрерывной снизу и выпуклой функцией,
  2. [math]\displaystyle{ f \equiv +\infty }[/math], или
  3. [math]\displaystyle{ f \equiv -\infty }[/math][1][4][5].

В геометрической формулировке теорема утверждает, что необходимым и достаточным условием того, чтобы надграфик функции был пересечением надграфиков аффинных функций, является выпуклость и замкнутость этой функции[3].

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77.
  2. ↑ Zălinescu, 2002, с. 75–79.
  3. ↑ 3,0 3,1 Тихомиров В. Геометрия выпуклости // Квант. — 2003. — № 4.
  4. ↑ Lai, Lin, 1988, с. 85–90.
  5. ↑ Koshi, Komuro, 1983, с. 178–181.

Литература

  • Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — Т. 23, № 6(144). — С. 51–116.
  • Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009.
  • Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701.
  • Constantin Zălinescu. Convex analysis in general vector spaces. — River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc., 2002. — ISBN 981-238-067-1.
  • Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Май (vol. 103). — doi:10.2307/2047532.
  • Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вып. 5.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Фенхеля_—_Моро&oldid=5854787