Полунепрерывная функция

Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.

Определения

Пусть дано полное метрическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\varrho). }[/math] Вещественнозначная функция [math]\displaystyle{ f:X \to \mathbb{R} }[/math] называется полунепреры́вной сни́зу (све́рху) в точке [math]\displaystyle{ x_0\in X }[/math], если

[math]\displaystyle{ \varliminf_{x\to x_0}f(x)\ge f(x_0)\; \left(\varlimsup_{x\to x_0}f(x)\le f(x_0)\right). }[/math]

Функция [math]\displaystyle{ f }[/math] называется полунепрерывной снизу (сверху) на [math]\displaystyle{ M \subset X }[/math], если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех [math]\displaystyle{ x_0\in M }[/math].

Свойства

Функция [math]\displaystyle{ f:X \to \R }[/math] полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество [math]\displaystyle{ \{x\in X \mid f(x) \gt a\} }[/math] открыто в стандартной топологии вещественной прямой для любого [math]\displaystyle{ a\in \R. }[/math]
Пусть [math]\displaystyle{ f,g:X \to \R }[/math] суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма [math]\displaystyle{ f+g }[/math] также полунепрерывна снизу (сверху).
Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций [math]\displaystyle{ f_n: X \to \mathbb{R},\; n\in \mathbb{N} }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ f_{n+1}(x) \ge (\le) f_n(x)\; \forall n\in \mathbb{N}\; \forall x\in X. }[/math] Тогда если существует предел [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)\; \forall x \in X, }[/math] то [math]\displaystyle{ f }[/math] полунепрерывна снизу (сверху).
Если [math]\displaystyle{ u:X \to \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ v:X \to \mathbb{R} }[/math] есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено
[math]\displaystyle{ -\infty \lt v(x) \le u(x) \lt \infty,\; x\in X, }[/math]
то существует непрерывная функция [math]\displaystyle{ f:X \to \mathbb{R} }[/math], такая что
[math]\displaystyle{ v(x) \le f(x) \le u(x),\; x\in X. }[/math]
(Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество [math]\displaystyle{ K \subset X. }[/math] Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция [math]\displaystyle{ f:K\to \R }[/math] достигает на [math]\displaystyle{ K }[/math] своего минимума (максимума).

Примеры

Целая часть [math]\displaystyle{ x\mapsto [x] }[/math] является полунепрерывной сверху функцией;
Дробная часть [math]\displaystyle{ x\mapsto \{x\} }[/math] полунепрерывная снизу.
Индикатор [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_U }[/math] произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой [math]\displaystyle{ \varrho }[/math], множества [math]\displaystyle{ U \subset X }[/math] является полунепрерывной снизу функцией.
Индикатор [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_V }[/math] произвольного замкнутого множества [math]\displaystyle{ V \subset X }[/math] является полунепрерывной сверху функцией.

Литература

Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;
Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.