Надграфик
Надгра́фик (эпиграф) — множество точек, лежащих над графиком данной функции.
Формально, для функции [math]\displaystyle{ f: M \to \R }[/math] надграфиком называется множество:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{epi} f \equiv \bigl\{(x,y) \in M \times \R \mid y \geqslant f(x)\bigr\} }[/math].
Надграфик включает в себя график функции [math]\displaystyle{ f }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \operatorname{epi} f \supset \Gamma, }[/math] где:
- [math]\displaystyle{ \Gamma \equiv \left\{\bigl(x,f(x)\bigr) \in M \times \R \mid x\in M\right\} }[/math]
Надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда она сама является выпуклой.
Надграфик функции является замкнутым множеством тогда и только тогда, когда сама функция является полунепрерывной снизу.
Двойственное понятие — подграфик (гипограф), для функции [math]\displaystyle{ f: M \to \R }[/math] определяется как множество точек, лежащих под графиком:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{hyp} f \equiv \bigl\{(x,y) \in M \times \R \mid y \leqslant f(x) \bigr\} }[/math].
Литература
- Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — Новосибирск: Издательство Института математики, 2000. — 336 с.
- Шаблон:Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer
- Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ. ISBN 0-691-01586-4.