Эксцесс (сферическая тригонометрия)

Сферический треугольник

Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.

Определение

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

[math]\displaystyle{ \varepsilon = A + B + C - \pi }[/math]

Свойства и вычисление

• Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа.
• Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье:

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\varepsilon}{4} = \sqrt{\operatorname{tg}\frac{p}{2} \operatorname{tg}\frac{p-a}{2}\operatorname{tg}\frac{p-b}{2}\operatorname{tg}\frac{p-c}{2}}, p=\frac{a+b+c}{2} }[/math]

• Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула:

[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\varepsilon}{2} = \frac{\operatorname{ctg}\frac{a}{2}\operatorname{ctg}\frac{b}{2} + \cos C}{\sin C} }[/math]

Применение

• Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку [math]\displaystyle{ S=R^2 \varepsilon }[/math] (здесь [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах).
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы [math]\displaystyle{ \theta_a, \theta_b, \theta_c }[/math] при вершине, как:

[math]\displaystyle{ \Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} }[/math], где [math]\displaystyle{ \theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2} }[/math] — полупериметр.

Через двугранные углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma }[/math] телесный угол выражается, как:

[math]\displaystyle{ \Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi }[/math]

Ссылки

• Сферический избыток — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Сферический избыток на сайте MathWorld