Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия)

Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен.

Формулировка

Сферический треугольник.

Пусть дан сферический треугольник со сторонами [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math], малыми по сравнению с радиусом сферы [math]\displaystyle{ R }[/math], углами [math]\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma }[/math] и эксцессом [math]\displaystyle{ \varepsilon=\alpha+\beta+\gamma-\pi }[/math]. Построим на плоскости треугольник со сторонами [math]\displaystyle{ a', b', c' }[/math], равными по длине соответствующим сторонам данного сферического треугольника, то есть, поскольку для сторон сферического треугольника принята угловая мера, и они выражаются в радианах, то [math]\displaystyle{ a'=aR, b'=bR, c'=cR }[/math]. Обозначим углы такого треугольника (выраженные в радианах) через [math]\displaystyle{ \alpha', \beta', \gamma' }[/math]. Теорема Лежандра утверждает, что справедливы соотношения:

[math]\displaystyle{ \alpha'\approx\alpha-\frac{\varepsilon}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta'\approx\beta-\frac{\varepsilon}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma'\approx\gamma-\frac{\varepsilon}{3} }[/math]

Таким образом, если стороны сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, мы можем заменить его на плоский треугольник с такими же по длине сторонами и на треть эксцесса меньшими углами и вычислять элементы плоского треугольника.

История

Эта теорема была сформулирована А.М.Лежандром в 1787 году и доказана им в 1798 году. Однако, по некоторым источникам, она была известна ещё в 1740 году, когда Ш.М. де ла Кондамин использовал её при обработке градусных измерений перуанской экспедиции.