Снижение размерности

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

В статистике, машинном обучении и теории информации снижение размерности — это преобразование данных, состоящее в уменьшении числа переменных путём получения главных переменных[1]. Преобразование может быть разделено на отбор признаков и выделение признаков[2].

Отбор признаков

Основная статья: Отбор признаков

Метод отбора признаков пытается найти подмножество исходных переменных (которые называются признаками или атрибутами). Есть три стратегии — стратегия фильтра (например, накопление признаков[англ.]), стратегия обёртывания (например, поиск согласно точности) и стратегия вложения (выбираются признаки для добавления или удаления по мере построения модели, основанной на ошибках прогнозирования). См. также задачи комбинаторной оптимизации.

В некоторых случаях анализ данных, такой как регрессия или классификация, может быть осуществлён в редуцированном пространстве более точно, чем в исходном пространстве[3].

Проекция признаков

Проекция признаков преобразует данные из пространства высокой размерности к пространству малой размерности. Преобразование данных может быть линейным, как в методе главных компонент (МГК), но существует большое число техник нелинейного понижения размерности[англ.][4][5]. Для многомерных данных может быть использовано тензорное представление для снижения размерности через полилинейное обучение подпространств[англ.][6].

Метод главных компонент (МГК)

Основная статья: Метод главных компонент

Основная линейная техника для снижения размерности, метод главных компонент, осуществляет линейное отображение данных в пространство меньшей размерности таким образом, что дисперсия данных в малоразмерном представлении максимизируется. На практике строится матрица ковариации (а иногда корреляции) данных и вычисляются собственные вектора этой матрицы. Собственные вектора, соответствующие наибольшим собственным значениям (главные компоненты) теперь можно использовать для восстановления большей части дисперсии исходных данных. Более того, первые несколько собственных векторов часто можно интерпретировать в терминах крупномасштабного физического поведения системы. Исходное пространство (с размерностью, равной числу точек) редуцируется (с потерей данных, но с надеждой, что остаётся наиболее важная дисперсия) до пространства, натянутого на несколько собственных векторов.

Неотрицательное матричное разложение (НМР)

Основная статья: Неотрицательное матричное разложение

Неотрицательное матричное разложение раскладывает неотрицательную матрицу на произведение двух неотрицательных матриц, которые имеют многообещающие средства в областях, где существуют только неотрицательные сигналы[7][8], таких как астрономия[9][10]. Неотрицательное матричное разложение хорошо известно ввиду правила мультипликативных корректировок (англ. multiplicative update rule) Ли и Сына[7], которое непрерывно разрабатывалось: включение неоределённости (англ.  the inclusion of uncertainties)[9], учёт отсутствующих данных (англ. the consideration of missing data) и параллельные вычисления[11], последовательное построение (англ. sequential construction)[11], которое ведёт к стабильности и линейности НМР[10], а также другие корректировки.

Со стабильным компонентным базисом во время построения и линейным процессом моделирования последовательное неотрицательное матричное разложение (англ. sequential NMF)[11] способно сохранить поток околозвёздных структур прямого наблюдения (то есть наблюдаемых непосредственно, а не по косвенным признакам) в астрономии[10], как один из методов обнаружения экзопланет, особенно для околозвёздных дисков прямого наблюдения. По сравнению с МГК неотрицательное матричное разложение не удаляет среднее матриц, удаление которых приводит к нефизическим неотрицательным потокам, потому НМР способно сохранить больше информации, чем метод главных компонент, что продемонстрировал Рен с соавторами[10].

Ядерный метод главных компонент (ЯМГК)

Основная статья: Ядерный метод главных компонент

Метод главных компонент может применяться другим способом при использовании ядерного трюка. Получающаяся техника способна построить нелинейные отображения, которые максимизируют дисперсию данных. Эта техника называется ядерным методом главных компонент[англ.].

Основанный на графах ядерный МГК

Другие многообещающие нелинейные техники — это техники обучения на базе многообразий[англ.], такие как Isomap[англ.], локально-линейное вложение[англ.] (ЛЛВ), локально-линейное вложение с использованием гессиана (англ. Hessian LLE), метод карт собственных значений лапласиана (англ. Laplacian Eigenmaps) и метод выравнивания локальных касательных пространств[англ.] (англ. local tangent space alignment, LTSA). Эти техники строят низкоразмерное представление данных, используя функцию цены, которая сохраняет локальные свойства данных и которую можно рассматривать как определение основанного на графах ядра для ядерного МГК.

Недавно были предложены техники, которые вместо определения фиксированного ядра пытаются изучить ядро с помощью полуопределённого программирования. Наиболее значительным примером такой техники является развертка по максимуму невязки (РМН). Центральная идея РМН состоит в точности в сохранении всех попарных расстояний между ближайшими соседями (в пространстве со скалярным произведением), максимизируя при этом расстояния между точками, не являющимися ближайшими соседями.

Альтернативный подход к сохранению соседства заключается в минимизации функции цены, которая измеряет расстояния во входном и выходном пространствах. Важные примеры таких техник: классическое многомерное шкалирование, которое идентично МГК; Isomap[англ.], которая использует геодезические расстояния в пространстве данных; метод диффузионных карт[англ.], который использует диффузионные расстояния в пространстве данных; стохастическое вложение соседей с t-распределением (англ. t-distributed stochastic neighbor embedding, t-SNE), который минимизирует разницу между парами точек, UMAP (Uniform Approximation and Projection), который минимизирует дивергенцию Кульбака-Лейблера между множествами в высоко- и низкоразмерном пространствах[12], и нелинейный анализ компонент (англ. Curvilinear Component Analysis, CCA).

Другой подход к нелинейному снижению размерности — через использование автокодировщиков, специального вида нейронных сетей прямого распространения (англ. feed-forward networks) с бутылочным (в виде бутылочного горлышка) скрытым слоем[13]. Обучение глубоких кодировщиков обычно осуществляется с использованием жадного послойного предобучения (например, используя каскад ограниченных машин Больцмана), за которым следует этап тонкой настройки, основанный на методе обратного распространения ошибки.

Линейный дискриминантный анализ (ЛДА)

Основная статья: Линейный дискриминантный анализ

Линейный дискриминантный анализ (ЛДА) является обобщением линейного дискриминанта Фишера, метода, применяемого в статистике, распознавании образов и машинном обучении для поиска линейной комбинации признаков, которые описывают или разделяют два и более класса объектов или событий.

Обобщённый дискриминантный анализ (ОДА)

Обобщённый дискриминантный анализ имеет дело с нелинейным дискриминантным анализом с помощью оператора ядра функции (англ. kernel function operator). Лежащая в основе теория близка к методу опорных векторов (МОВ), поскольку метод ОДА даёт отображение входных векторов в пространство признаков высокой размерности [14][15]. Аналогично ЛДА, целью ОДА является поиск проекции признаков в пространство меньшей размерности с максимизацией отношения межклассовой инвариантности (англ. between-class scatter) к внутриклассовой инвариантности (англ. within-class scatter).

Автокодировщик

Основная статья: Автокодировщик

Автокодировщик может быть использован для изучения функций нелинейного снижения размерности и кодирования вместе с обратной функцией из кодированного к исходному представлению.

Снижение размерности

Для наборов данных высокой размерности (то есть с числом размерностей больше 10) снижение размерности обычно осуществляется перед применением метода k-ближайших соседей (англ. k-nearest neighbors algorithm, k-NN) с целью избежать эффект проклятия размерности[16].

Выделение признаков и снижение размерности может быть скомбинировано в один шаг с помощью метода главных компонент (МГК), линейного дискриминантного анализа(ЛДА), канонического корреляционного анализа (ККА) или неотрицательного разложения матрицы (НМР) как предварительный шаг с последующей группировкой с помощью K-NN на векторе признаков в пространстве редуцированной размерности. В машинном обучении этот процесс называется также малоразмерным вложением[17].

Для любых наборов данных высокой размерности (например, когда осуществляется поиск подобия в видеопотоке, ДНК данных или временном ряде высокой размерности) использование быстрого приближённого K-NN поиска с помощью методов «locality sensitive hashing», случайной проекции[англ.][18], «выжимок (sketches)»[19] (например, тензорный скетч) или других высокоразмерных техник поиска похожести из арсенала сверхбольших баз данных[уточнить] может оказаться единственно возможным вариантом.

Преимущества снижения размерности

  1. Оно уменьшает требуемое время и память.
  2. Удаление мультиколлинеарности улучшает скорость модели машинного обучения.
  3. Проще представить данные визуально, если свести к очень низким размерностям, таким как 2D или 3D.

Приложения

Техника снижения размерности, которая иногда используется в нейронауках,— это максимальные информативные размерности[англ.]. Техника находит представления низкой размерности набора данных, сохраняющие как можно больше информации об исходных данных.

См. также

Примечания

  1. ↑ Roweis, Saul, 2000.
  2. ↑ Pudil, Novovičová, 1998, с. 101.
  3. ↑ Rico-Sulayes, 2017, с. 26—35.
  4. ↑ Samet, 2006.
  5. ↑ Ding, He, Zha, Simon, 2002.
  6. ↑ Lu, Plataniotis, Venetsanopoulos, 2011, с. 1540–1551.
  7. ↑ 7,0 7,1 Lee, Seung, 1999, с. 788—791.
  8. ↑ Lee, Seung, 2001, с. 556-562.
  9. ↑ 9,0 9,1 Blanton, Roweis, 2007, с. 134.
  10. ↑ 10,0 10,1 10,2 10,3 Ren, Pueyo, Zhu, Duchêne, 2018, с. 104.
  11. ↑ 11,0 11,1 11,2 Zhu, Guangtun B. (2016-12-19), Nonnegative Matrix Factorization (NMF) with Heteroscedastic Uncertainties and Missing data, arΧiv:1612.06037 [astro-ph.IM]. 
  12. ↑ UMAP: Uniform Manifold Approximation and Projection for Dimension Reduction (англ.) (7 декабря 2018). Дата обращения: 26 августа 2019. Архивировано 3 ноября 2019 года.
  13. ↑ Hu, Zahorian, 2010.
  14. ↑ Baudat, Anouar, 2000, с. 2385–2404.
  15. ↑ Haghighat, Zonouz, Abdel-Mottaleb, 2015, с. 7905–7916.
  16. ↑ Beyer, Goldstein, Ramakrishnan, Shaft, 1999, с. 217–235.
  17. ↑ Shaw, Jebara, 2009, с. 1.
  18. ↑ Bingham, Mannila, 2001, с. 245.
  19. ↑ Shasha, 2004.

Литература

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Снижение_размерности&oldid=5903752