Метод k-средних

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Метод k-средних (англ. k-means) — наиболее популярный метод кластеризации. Был изобретён в 1950-х годах математиком Гуго Штейнгаузом[1] и почти одновременно Стюартом Ллойдом[2]. Особую популярность приобрёл после работы Маккуина[3].

Действие алгоритма таково, что он стремится минимизировать суммарное квадратичное отклонение точек кластеров от центров этих кластеров:

[math]\displaystyle{ V = \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in S_i} (x - \mu_i)^2 }[/math]

где [math]\displaystyle{ k }[/math] — число кластеров, [math]\displaystyle{ S_i }[/math] — полученные кластеры, [math]\displaystyle{ i = 1, 2, \dots, k }[/math], а [math]\displaystyle{ \mu_i }[/math] — центры масс всех векторов [math]\displaystyle{ x }[/math] из кластера [math]\displaystyle{ S_i }[/math].

По аналогии с методом главных компонент центры кластеров называются также главными точками, а сам метод называется методом главных точек[4] и включается в общую теорию главных объектов, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию данных[5].

Алгоритм

Алгоритм представляет собой версию EM-алгоритма, применяемого также для разделения смеси гауссиан. Он разбивает множество элементов векторного пространства на заранее известное число кластеров k.

Основная идея заключается в том, что на каждой итерации перевычисляется центр масс для каждого кластера, полученного на предыдущем шаге, затем векторы разбиваются на кластеры вновь в соответствии с тем, какой из новых центров оказался ближе по выбранной метрике.

Алгоритм завершается, когда на какой-то итерации не происходит изменения внутрикластерного расстояния. Это происходит за конечное число итераций, так как количество возможных разбиений конечного множества конечно, а на каждом шаге суммарное квадратичное отклонение V уменьшается, поэтому зацикливание невозможно.

Как показали Дэвид Артур и Сергей Васильвицкий, на некоторых классах множеств сложность алгоритма по времени, нужному для сходимости, равна [math]\displaystyle{ 2^{\Omega(\sqrt{n})} }[/math][6].

Демонстрация алгоритма

Действие алгоритма в двумерном случае. Начальные точки выбраны случайно.

Исходные точки и случайно выбранные начальные точки.
Точки, отнесённые к начальным центрам. Разбиение на плоскости — диаграмма Вороного относительно начальных центров.
Вычисление новых центров кластеров (Ищется центр масс).
Предыдущие шаги, за исключением первого, повторяются, пока алгоритм не сойдётся.

Проблемы k-means

Типичный пример сходимости метода k средних к локальному минимуму. В этом примере результат «кластеризации» методом k средних противоречит очевидной кластерной структуре множества данных. Маленькими кружками обозначены точки данных, четырёхлучевые звезды — центроиды. Принадлежащие им точки данных окрашены в тот же цвет. Иллюстрация подготовлена с помощью апплета Миркеса[7].
Результат кластеризации методом k-средних для ирисов Фишера и реальные виды ирисов, визуализированные с помощью ELKI. Центры кластеров отмечены с помощью крупных, полупрозрачных маркеров.
  • Не гарантируется достижение глобального минимума суммарного квадратичного отклонения V, а только одного из локальных минимумов.
  • Результат зависит от выбора исходных центров кластеров, их оптимальный выбор неизвестен.
  • Число кластеров надо знать заранее.

Расширения и вариации

Широко известна и используется нейросетевая реализация K-means — сети векторного квантования сигналов (одна из версий нейронных сетей Кохонена).

Существует расширение k-means++, которое направлено на оптимальный выбор начальных значений центров кластеров.


Применение для задач глубокого обучения и машинного зрения

В алгоритмах глубокого обучения метод k-средних иногда применяют не по прямому назначению (классификация разбивкой на кластеры), а для создания так называемых фильтров (ядер свёртки, словарей). Например, для распознавания изображений в алгоритм k-средних подают небольшие случайные кусочки изображений обучающей выборки, допустим, размером 16х16 в виде линейного вектора, каждый элемент которого кодирует яркость своей точки. Количество кластеров k задается большим, например 256. Обученный метод k-средних при определенных условиях вырабатывает при этом центры кластеров (центроиды), которые представляют собой удобные базисы, на которые можно разложить любое входное изображение. Такие "обученные" центроиды в дальнейшем используют в качестве фильтров, например для свёрточной нейронной сети в качестве ядер свёртки или других аналогичных систем машинного зрения[8]. Таким образом осуществляется обучение без учителя при помощи метода k-средних.

Ссылки

  1. ↑ Steinhaus H. (1956). Sur la division des corps materiels en parties. Bull. Acad. Polon. Sci., C1. III vol IV: 801—804.
  2. ↑ Lloyd S. (1957). Least square quantization in PCM’s. Bell Telephone Laboratories Paper.
  3. ↑ MacQueen J. (1967). Some methods for classification and analysis of multivariate observations. In Proc. 5th Berkeley Symp. on Math. Statistics and Probability, pages 281—297.
  4. ↑ Flury B. (1990). Principal points. Biometrika, 77, 33-41.
  5. ↑ Gorban A.N., Zinovyev A.Y. (2009). Principal Graphs and Manifolds, Ch. 2 in: Handbook of Research on Machine Learning Applications and Trends: Algorithms, Methods, and Techniques, Emilio Soria Olivas et al. (eds), IGI Global, Hershey, PA, USA, pp. 28-59.
  6. ↑ David Arthur & Sergei Vassilvitskii. How Slow is the k-means Method? // Proceedings of the 2006 Symposium on Computational Geometry (SoCG). — 2006.
  7. ↑ E.M. Mirkes, K-means and K-medoids applet Архивная копия от 29 мая 2013 на Wayback Machine. University of Leicester, 2011.
  8. ↑ Adam Coates and Andrew Y. Ng. Learning Feature Representations with K-means Архивная копия от 21 июня 2015 на Wayback Machine, Stanford University, 2012

Демонстрация и визуализация

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Метод_k-средних&oldid=5903531