Графовая вероятностная модель
Графовая вероятностная модель — это вероятностная модель, в которой в виде графа представлены зависимости между случайными величинами. Вершины графа соответствуют случайным переменным, а рёбра — непосредственным вероятностным взаимосвязям между случайными величинами. Графические модели широко используются в теории вероятностей, статистике (особенно в Байесовской статистике), а также в машинном обучении.
Виды графовых моделей
Байесовская сеть
Байесовская сеть представляет случай графической модели с ориентированным ациклическим графом, при этом ориентированные рёбра кодируют отношения вероятностной зависимости между переменными.
По байесовской сети легко записывается совместное распределение переменных: если события (случайные величины) обозначаются как
[math]\displaystyle{ X_1,\ldots,X_n }[/math]
тогда совместное распределение удовлетворяет уравнению
[math]\displaystyle{ P[X_1,\ldots,X_n]=\prod_{i=1}^nP[X_i|pa_i] }[/math]
где [math]\displaystyle{ pa_i }[/math] множество вершин-предков вершины [math]\displaystyle{ X_i }[/math]. Другими словами, совместное распределение представляется в виде произведения условных атомарных распределений, которые обычно известны. Любые две вершины, не соединённые ребром, условно независимы, если известно значение их предков. В общем, любые два набора вершин условно независимы при заданных значениях третьего множества вершин, если в графе выполняется условие d-разделимости. Локальная и глобальная независимость эквивалентны в Байесовской сети
Важный частный случай байесовской сети - скрытая марковская модель
Марковские случайные поля
Марковские случайные поля задаются неориентированным графом. В отличие от байесовских сетей, они могут содержать циклы.
С помощью марковских случайных полей, можно удобно представлять изображения, используя сеточную структуру, что позволяет решать, например, задачу фильтрации шума на изображении.
Другие виды графовых моделей
- фактор-граф — неориентированный двудольный граф, в котором рёбрами соединены факторы и случайные переменные. Каждый фактор представляет вероятностное распределения для всех переменных, которые он связывает. Графы переводят в форму фактор-графа, например, для возможности использования алгоритма распространения доверия.
- цепной граф — это граф, который может содержать как направленные, так и ненаправленные рёбра, но без ориентированных циклов (то есть если мы начнём движение в какой-то вершине и будем двигаться по графу только по ориентированным рёбрам, то мы не сможем вернуться в ту вершину, из которой мы начали путь). И ориентированные и неориентированные графы являются частным случаем цепных графов, которые могут служить обобщением байесовских и марковских сетей
- условное случайное поле — дискриминативная модель, заданная на неориентированном графе
Приложения
Графовые модели используются в задачах извлечения информации, распознавания речи, компьютерного зрения, декодирования кодов с малой плотностью проверок на чётность, обнаружения генов и диагностики болезней.
Ссылки
- Jensen, Finn. An introduction to Bayesian networks (неопр.). — Berlin: Springer, 1996. — ISBN 0-387-91502-8.
- Cowell, Robert G.; Dawid, A. Philip; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J. Probabilistic networks and expert systems (англ.). — Berlin: Springer, 1999. — ISBN 0-387-98767-3. A more advanced and statistically oriented book
- Pearl, Judea. Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems (англ.). — 2nd revised. — San Mateo, CA: Morgan Kaufmann, 1988. — ISBN 1558604790. A computational reasoning approach, where the relationships between graphs and probabilities were formally introduced.
- Bishop, Christopher M. Chapter 8. Graphical Models // Pattern Recognition and Machine Learning (неопр.). — Springer, 2006. — С. 359—422. — ISBN 0-387-31073-8.
- A Brief Introduction to Graphical Models and Bayesian Networks Архивная копия от 12 ноября 2020 на Wayback Machine
- Heckerman's Bayes Net Learning Tutorial (недоступная ссылка)
- Edoardo M. Airoldi. Getting Started in Probabilistic Graphical Models (англ.) // PLoS Computational Biology : journal. — 2007. — Vol. 3, no. 12. — P. e252. — doi:10.1371/journal.pcbi.0030252.
