Симплектическое многообразие

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Важнейшим примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение [math]\displaystyle{ T^*M }[/math]. Симплектическая структура позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам: если [math]\displaystyle{ M }[/math] — конфигурационное пространство механической системы, то [math]\displaystyle{ T^*M }[/math] — соответствующее ему фазовое пространство.

Определение

Дифференциальная 2-форма [math]\displaystyle{ \omega }[/math] называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю,

[math]\displaystyle{ d \omega = 0, }[/math]

и для любого ненулевого касательного вектора [math]\displaystyle{ v \in T_x M }[/math] найдётся вектор [math]\displaystyle{ w \in T_x M }[/math] такой, что

[math]\displaystyle{ \omega(v,w) \ne 0. }[/math]

Многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.

Замечания

• Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность.
• Если размерность [math]\displaystyle{ M }[/math] равна [math]\displaystyle{ 2n }[/math], то невырожденость формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math] эквивалентна условию [math]\displaystyle{ \omega^{\wedge n}\ne 0 }[/math].

Связанные определения

• Диффеоморфизм симплектических многообразий [math]\displaystyle{ f\colon M \to N }[/math] называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

• Пусть [math]\displaystyle{ H\colon M \to \mathbb R }[/math] — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции [math]\displaystyle{ H }[/math] векторное поле [math]\displaystyle{ V_H }[/math], определяемое следующим тождеством:

  [math]\displaystyle{ dH(X) = \omega(V_H,X). }[/math]

  • Это определение аналогично определению градиента и иногда [math]\displaystyle{ V_H }[/math] называется симплектическим градиентом функции [math]\displaystyle{ H }[/math].
  • Поле [math]\displaystyle{ V_H }[/math], которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
  • В силу невырожденности формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math] векторное поле [math]\displaystyle{ V_H }[/math] определено однозначно. В координатах Дарбу это отображение принимает вид

  [math]\displaystyle{ \dot {\mathbf q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}, \quad \dot {\mathbf p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf q}, }[/math]

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом [math]\displaystyle{ H }[/math] называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).

• Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на [math]\displaystyle{ M }[/math] в алгебру Ли и определены по правилу

[math]\displaystyle{ [F, G] = \omega(V_F, V_G). }[/math]

Свойства

• Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу, в которых симплектическая форма имеет вид

  [math]\displaystyle{ \omega = d\mathbf p \wedge d\mathbf q }[/math]

При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.

• Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру (следует из формулы Картана):

  [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_{V_H}\, \omega = 0 }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_{V_H} }[/math] — производная Ли по векторному полю [math]\displaystyle{ V_H }[/math]. Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

• В частности, поскольку [math]\displaystyle{ \omega^{\wedge n} }[/math] — форма объёма на [math]\displaystyle{ M }[/math], то получаем теорему Лиувилля о сохранении фазового объёма:

  [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_{V_H}\omega^{\wedge n}=0. }[/math]

Контактная структура

С каждым симплектическим [math]\displaystyle{ 2n }[/math]-мерным многообразием каноническим образом связано [math]\displaystyle{ (2n+1) }[/math]-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого [math]\displaystyle{ (2n+1) }[/math]-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся [math]\displaystyle{ (2n+2) }[/math]-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Многообразие называется мультисимплектическим степени [math]\displaystyle{ k }[/math], если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также

• Симплектическое пространство

Ссылки

• Д. В. Аносов. «О развитии теории динамических систем». Симплектическая геометрия.
• Лекция 5: Скобки Пуассона, дифференциальные формы и поливекторы 2013

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
• Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К.: TIMPANI, 2004. — 1040 с.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.