Контактная структура

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности [math]\displaystyle{ M^{2n+1} }[/math], состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Определение

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], что

[math]\displaystyle{ \lambda\wedge (d\lambda)^n \ne 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле [math]\displaystyle{ Y }[/math] на [math]\displaystyle{ M^{2n+1} }[/math] такое, что

[math]\displaystyle{ \lambda(Y)=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ d\lambda(Y, X)=0 }[/math]

для любого векторного поля [math]\displaystyle{ X }[/math].

Свойства

• Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
• На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

• С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией.
  • Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Почти контактная структура

Пусть [math]\displaystyle{ M^{2n+1} }[/math] — нечётномерное гладкое многообразие [math]\displaystyle{ \dim M = 2n + 1 }[/math].

Почти контактной структурой на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] называется тройка [math]\displaystyle{ (\eta ,\xi ,\Phi) }[/math] тензорных полей на этом многообразии, где [math]\displaystyle{ \eta }[/math] — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, [math]\displaystyle{ \xi }[/math] — векторное поле, называемое характеристическим, [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] — эндоморфизм [math]\displaystyle{ TM }[/math], называемый структурным эндоморфизмом. При этом

1. [math]\displaystyle{ \eta (\xi )=1 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \eta \circ \Phi =0 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \Phi (\xi )=0 }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \Phi^2=-id+\eta \otimes \xi }[/math]

Если, кроме того, на [math]\displaystyle{ M }[/math] фиксирована риманова структура [math]\displaystyle{ g = \langle\cdot , \cdot\rangle }[/math], такая что

[math]\displaystyle{ \langle \Phi X,\Phi Y \rangle =\langle X,Y \rangle -\eta(X)\eta(Y) }[/math]

четвёрка [math]\displaystyle{ (\eta,\xi,\Phi,g) }[/math] называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.