Рефлексивное отношение

Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение [math]\displaystyle{ R }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math], при котором всякий элемент этого множества находится в отношении [math]\displaystyle{ R }[/math] с самим собой.

Формально, отношение [math]\displaystyle{ R }[/math] рефлексивно, если [math]\displaystyle{ \forall x \in X:\ (x R x) }[/math].

Свойство рефлексивности отношения при задании матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при задании отношения графом каждый элемент х имеет петлю — дугу (х, х).

Бинарное отношение [math]\displaystyle{ R }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение [math]\displaystyle{ \operatorname{id}_X }[/math] на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] ([math]\displaystyle{ \operatorname{id}_X=\{(x,x)|x\in X\} }[/math]), то есть [math]\displaystyle{ \operatorname{id}_X \subseteq R }[/math].

Если [math]\displaystyle{ aRa }[/math] не имеет смысла, то отношение [math]\displaystyle{ R }[/math] называется антирефлексивным (или иррефлексивным).

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения [math]\displaystyle{ R }[/math] определяется как: [math]\displaystyle{ \forall x \in X:\ \neg (x R x) }[/math].

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества [math]\displaystyle{ X }[/math], говорят, что отношение [math]\displaystyle{ R }[/math] нерефлексивно.

Примеры рефлексивных отношений

Рефлексивные отношения:

• отношения эквивалентности:
  • отношение равенства ([math]\displaystyle{ =\; }[/math]);
  • отношение сравнимости по модулю;
  • отношение параллельности прямых и плоскостей;
  • отношение подобия геометрических фигур;
• отношения нестрогого порядка:
  • отношение нестрогого неравенства ([math]\displaystyle{ \leqslant }[/math]);
  • отношение нестрогого подмножества ([math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]);
  • отношение делимости ([math]\displaystyle{ \vdots }[/math]).

Примеры антирефлексивных отношений

Антирефлексивные отношения:

• отношение неравенства ([math]\displaystyle{ \ne\; }[/math]);
• отношения строгого порядка:
  • отношение строгого неравенства ([math]\displaystyle{ \lt \; }[/math]);
  • отношение строгого подмножества ([math]\displaystyle{ \subset }[/math]);
• отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в евклидовом пространстве.

См. также

• Корефлексивное отношение
• Самоподобие