Расслоение на окружности

Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности [math]\displaystyle{ \scriptstyle \mathbf{S}^1 }[/math].

Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем расслоений на сферы.

Как 3-многообразия

Расслоение на окружности поверхностей является важным примером 3-многообразий. Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.

Отношение к электродинамике

Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с [math]\displaystyle{ \pi^{\!*}F }[/math] гомологически эквивалентным нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что

[math]\displaystyle{ \pi^{\!*}F = dA. }[/math]

Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция

[math]\displaystyle{ \pi:P\to M }[/math],

имеем гомоморфизм

[math]\displaystyle{ \pi^*:H^2(M,\mathbb{Z}) \to H^2(P,\mathbb{Z}) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \pi^{\!*} }[/math] является обратным образом. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.

Примеры

• Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности.
• Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением [math]\displaystyle{ U(1) }[/math]. Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения.
• Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения [math]\displaystyle{ L \to X }[/math] и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из [math]\displaystyle{ L }[/math], получаем, что оно является главным расслоением [math]\displaystyle{ U(1) }[/math]. Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] согласуются с характеристическими классами [math]\displaystyle{ L }[/math].
• Например, рассмотрим аналитификацию [math]\displaystyle{ X }[/math] комплексной плоской кривой

[math]\displaystyle{ \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{x^n + y^n + z^n} \right) }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ H^2(X)=\mathbb{Z}=H^2(\mathbb{CP}^2) }[/math] и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_X(a) = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(a)\otimes \mathcal{O}_X }[/math], имеет класс Чженя [math]\displaystyle{ c_1 = a \in H^2(X) }[/math].

Классификация

Классы изоморфности главных расслоений [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений [math]\displaystyle{ M \to BU(1) }[/math], где [math]\displaystyle{ BU(1) }[/math] называется классифицирующим пространством для U(1). Заметим, что [math]\displaystyle{ BU(1)= CP^\infty }[/math] является бесконечномерным комплексным проективным пространством, и что оно является примером пространства Эйленберга-Маклейна [math]\displaystyle{ K(\mathbb{Z},2) }[/math]. Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий [math]\displaystyle{ H^2(M,\mathbb{Z}) }[/math] многообразия M, поскольку

[math]\displaystyle{ [M,BU(1)] \equiv [M,\mathbb CP^\infty] \equiv H^2(M) }[/math].

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера. Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного линейного расслоения (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^* }[/math], комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)

Расслоение на окружности является главным расслоением [math]\displaystyle{ U(1) }[/math] тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение [math]\displaystyle{ M \to B\mathbb Z_2 }[/math] гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений [math]\displaystyle{ M \to BO_2 }[/math]. Это следует из расширения групп [math]\displaystyle{ SO_2 \to O_2 \to \mathbb Z_2 }[/math], где [math]\displaystyle{ SO_2 \equiv U(1) }[/math].

Комплексы Делиня

Основная статья: Когомология Делиня

Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня [math]\displaystyle{ H_D^2(M, \mathbb{Z}) }[/math], расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством [math]\displaystyle{ H_D^2(M, \mathbb{Z}(2)) }[/math], в то время как [math]\displaystyle{ H_D^3(M, \mathbb{Z}) }[/math] классифицирует линейные расслоения на снопы.

См. также

• Спектральная последовательность