Расслоение Зейферта

Расслоение Зейферта — тип обобщённого расслоения трёхмерных многообразий на окружности. Названо в честь Герберта Зейферта.

[math]\displaystyle{ v=2 }[/math], [math]\displaystyle{ n=5 }[/math]

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ v }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] — взаимно простые целые числа, [math]\displaystyle{ 0\le v\lt n }[/math]. Отображение [math]\displaystyle{ g }[/math] — поворот диска [math]\displaystyle{ D^2 }[/math] на угол [math]\displaystyle{ 2\pi v/n }[/math]. В произведении [math]\displaystyle{ D^2\times [0,1] }[/math] склеим каждую точку [math]\displaystyle{ (x, 0) }[/math] с точкой [math]\displaystyle{ (g(x), 1) }[/math]. Получим [math]\displaystyle{ S^1 }[/math]-расслоение полнотория.

Каждый слой в расслоении Зейферта имеет окрестность с таким расслоением.

Образы отрезков [math]\displaystyle{ x\times[0,1] }[/math] в полученном полнотории [math]\displaystyle{ D^2\times S^1 }[/math] составляют слои, каждый слой, кроме центрального, состоит из [math]\displaystyle{ n }[/math] отрезков.

Если [math]\displaystyle{ v\gt 0 }[/math], центральный слой называется особым.

Примеры

• Если на [math]\displaystyle{ M^3 }[/math] действует окружность [math]\displaystyle{ S^1 }[/math] без неподвижных точек то орбиты действия образуют расслоение Зейферта.
• Более того, если [math]\displaystyle{ M^3 }[/math] ориентируемо, то каждое расслоение Зейферта на [math]\displaystyle{ M^3 }[/math] индуцируется таким действием [math]\displaystyle{ S^1 }[/math].

Связанные определения

• Многообразие Зейферта — многообразие, допускающее расслоение Зейферта.

Литература

• С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. (Гл. 10 Многообразия Зейферта) — Москва: Издательство МГУ. 1991, 1998. 304 С.