Приближение почти свободных электронов
Приближение почти свободных электронов — метод в квантовой теории твёрдого тела, в котором периодический потенциал кристаллической решётки считается малым возмущением относительно свободного движения валентных электронов.
Приближение почти свободных электронов предусматривает возникновение узких запрещённых зон в результате брегговской дифракции электронов на периодическом потенциале кристаллической решётки.
Математическая формулировка
Гамильтониан, что описывает движение электрона в потенциальном поле ядер атомов в приближении среднего поля задаётся формулой
- [math]\displaystyle{ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\mathbf{r}) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — постоянная Планка, m — масса электрона,[math]\displaystyle{ V(\mathbf{r}) }[/math] — периодический потенциал, который учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решёткой и другими электронами.
Волновую функцию электрона, которая должна удовлетворять теореме Блоха, можно искать в виде разложения в ряд Фурье
- [math]\displaystyle{ \psi_{\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} \sum_{\mathbf{G}} a_{\mathbf{k} +\mathbf{G}}e^{i\mathbf{G}\cdot \mathbf{r}} }[/math],
где [math]\displaystyle{ \mathbf{k} }[/math] — волновой вектор, [math]\displaystyle{ \mathbf{G} }[/math] — вектор обратной решётки.
Если потенциал [math]\displaystyle{ V(\mathbf{r}) }[/math] малый по величине по сравнению с кинетической энергией электрона, то движение электронов можно считать почти свободным. Энергия электрона задаётся формулой
- [math]\displaystyle{ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}. }[/math]
Эта формула справедлива всюду в зоне Бриллюэна, кроме того случая, когда волновая функция поступательного движения электрона будет интерферировать с волной, рассеянной на периодическом потенциале. Такая ситуация складывается тогда, когда [math]\displaystyle{ \mathbf{k} \approx \mathbf{G}/2 }[/math]. В этой области волновых векторов используется приближение, согласно которому амплитуды прямой и рассеянной волны определяются системой уравнений:
- [math]\displaystyle{ \left( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - E \right) a_{\mathbf{k}} + V_{\mathbf{-G}}a_{\mathbf{k} - \mathbf{G}} = 0 }[/math],
- [math]\displaystyle{ \left( \frac{\hbar^2 (\mathbf{k} - \mathbf{G})^2}{2m} - E \right) a_{\mathbf{k} - \mathbf{G}} + V_{\mathbf{G}}a_{\mathbf{k}} = 0 }[/math],
где [math]\displaystyle{ V_{\mathbf{G}} }[/math] — коэффициенты разложения потенциала в ряд Фурье. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение при выполнении условия
- [math]\displaystyle{ \left( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - E \right)\left( \frac{\hbar^2 (\mathbf{k} - \mathbf{G})^2}{2m} - E \right) - V_{\mathbf{G}}V_{\mathbf{-G}} = 0 }[/math],
что задаёт закон дисперсии электронных состояний на границе зоны Бриллюэна. Непосредственно на границе ([math]\displaystyle{ \mathbf{k} \cdot \mathbf{G} = \mathbf{G}^2/2 }[/math])
- [math]\displaystyle{ E = \frac{\hbar^2 G^2}{8m} \pm |V_{\mathbf{G}}| }[/math].
В промежутке энергий между [math]\displaystyle{ E = \frac{\hbar^2 G^2}{8m} - |V_{\mathbf{G}}| }[/math] и [math]\displaystyle{ E = \frac{\hbar^2 G^2}{8m} + |V_{\mathbf{G}}| }[/math] электронных уровней нет, чем определяется существование узкой запрещённой зоны.
См. также
Литература
Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников (неопр.). — Москва: Наука., 1978.
