Теорема Блоха

Теорема Блоха — важная теорема физики твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции частицы, находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха. В одномерном случае эту теорему часто называют теоремой Флоке. Сформулирована в 1928 году.

Формулировка

Строгая формулировка

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана

[math]\displaystyle{ \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\mathbf{r})\,, }[/math]

где потенциал U(r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

[math]\displaystyle{ \psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{kr}}u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\,, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R}) = u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) }[/math]

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний.

Электронные волновые функции в виде [math]\displaystyle{ u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}+\mathbf{R}) }[/math]называют функциями Блоха. Но при этом важно понимать, что, в отличие от функций Блоха, амплитуды [math]\displaystyle{ \psi_{n\textbf{k}} = e^{i\textbf{k}\textbf{r}} u_{n\textbf{k}}(\textbf{r}) }[/math] не являются периодическими функциями, поскольку член [math]\displaystyle{ e^{i\textbf{k}\textbf{r}} }[/math] описывает плоскую волну.

Пояснения к формулировке

В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.

Доказательство

Обозначим за T_R оператор трансляции произвольной функции на вектор R. В силу периодичности гамильтониана имеем:

[math]\displaystyle{ \hat T_{\mathbf{R}}\hat H\psi=\hat H(\mathbf{r}+\mathbf{R})\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R})= \hat H(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R})=\hat H\hat T_{\mathbf{R}}\psi. }[/math]

Таким образом, оператор трансляции на произвольный вектор решётки Бравэ коммутирует с гамильтонианом системы. Кроме того, операторы трансляции на произвольные два вектора коммутируют между собой:

[math]\displaystyle{ \hat T_{\mathbf{R}}\hat T_{\mathbf{R'}}\psi(\mathbf{r})=\hat T_{\mathbf{R'}}\hat T_{\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r})=\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R}+\mathbf{R'})= \hat T_{\mathbf{R}+\mathbf{R'}}\psi(\mathbf{r}). }[/math]

Из фундаментальной теоремы квантовой механики следует, что в этом случае состояния гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы они одновременно являлись собственными состояниями всех операторов T_R:

[math]\displaystyle{ \hat H\psi=E\psi, }[/math]

[math]\displaystyle{ \hat T_{\mathbf{R}}\psi=c(\mathbf{R})\psi. }[/math]

Собственные значения c(R) связаны между собой соотношением c(R)c(R')=c(R+R'), поскольку, с одной стороны:

[math]\displaystyle{ \hat T_{\mathbf{R}}\hat T_{\mathbf{R'}}\psi(\mathbf{r})=c(\mathbf{R})\hat T_{\mathbf{R'}}\psi(\mathbf{r})=c(\mathbf{R})c(\mathbf{R'})\psi, }[/math]

с другой:

[math]\displaystyle{ \hat T_{\mathbf{R}}\hat T_{\mathbf{R'}}\psi=\hat T_{\mathbf{R}+\mathbf{R'}}\psi=c(\mathbf{R}+\mathbf{R'})\psi. }[/math]

Пусть a_i — три основных вектора решётки Бравэ. Мы всегда можем представить с(a_i) в виде

[math]\displaystyle{ c(\mathbf{a}_i)=e^{2\pi \mathbf{i}\mathbf{x}_i}. }[/math]

Для произвольного вектора R = n₁a₁+n₂a₂+n₃a₃ справедливо равенство:

[math]\displaystyle{ c(\mathbf{R})=c(\mathbf{a}_1)^{n_1}*c(\mathbf{a}_2)^{n_2}*c(\mathbf{a}_3)^{n_3}, }[/math]

эквивалентное равенству [math]\displaystyle{ c(\mathbf{R})=e^{i\mathbf{k}\mathbf{R}} }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathbf{k}=x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+x_3\mathbf{b}_3\,, }[/math] где b_i — вектора обратной решётки, удовлетворяющие соотношению

[math]\displaystyle{ \mathbf{b}_i\mathbf{a}_j=2\pi\delta_{ij}. }[/math]

Итак, собственные значения ψ гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы для каждого вектора R решётки Бравэ выполнялось равенство:

[math]\displaystyle{ \hat T_{\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r})=\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R})= c(\mathbf{R})\psi(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r}), }[/math]

что в точности соответствует утверждению теоремы.

См. также

Литература

Н. Ашкрофт, Н. Мермин. Физика твёрдого тела. Том 1. Глава 8.